磁场中储存的能量

在上一章中，我们讨论了在机电能量转换装置中，电气和机械系统之间存在耦合介质。在大多数实际设备中，磁场被用作耦合介质。因此，机电能量转换装置包括电磁系统。因此，存储在耦合介质中的能量以磁场的形式存在。我们可以计算机电能量转换系统磁场中存储的能量，如下所述。

考虑一个在磁芯上缠绕有N匝导线的线圈，如图 1 所示。该线圈由v伏的电压源供电。

电磁路

通过施加 KVL，施加到线圈的电压由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{V\:=\:e\:+\:iR}\cdot \cdot \cdot (1)}$$

在哪里，

  • e是由于电磁感应而在线圈中感应出的电动势。

  • R是线圈电路的电阻。

  • $\mathit{i}$ 是流过线圈的电流。

输入到电磁系统的瞬时功率由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{p}\:=\:\mathit{Vi\:=\:i\left ( e+iR \right )}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{p}\:=\:\mathit{ie+ i^{\mathrm{2}}}\mathit{R}\cdot \cdot \cdot (2)}$$

现在，让在时间t = 0 和t = t 1秒结束时向电路施加直流电压，电路中的电流达到I安培的值。然后，在这个时间间隔内，系统的能量输入由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{W}_{in}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{p\:dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W}_{in}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{即\:dt}\:+ \:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\mathit{i^{\mathrm{2}}R\:dt}\cdot \cdot \cdot (3)}$$

从方程 3 可以清楚地看出，总输入能量由两部分组成 -

  • 第一部分是储存在磁场中的能量。

  • 第二部分是由于线圈的电阻而耗散的能量。

因此，系统磁场中存储的能量为：

$$\mathrm{\mathit{W}_{\mathit{f}}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{即\:dt}\ :\cdot \cdot \cdot (4)}$$

根据法拉第电磁感应定律，我们有，

$$\mathrm{\mathit{e}\:=\:\frac{\mathit{d\psi }}{\mathit{dt}}\:=\:\frac{\mathit{d}}{\mathit {dt}}\left ( \mathit{N\phi } \right )\:=\:\mathit{N}\frac{\mathit{d\phi }}{\mathit{dt}}\cdot \cdot \ cdot (5)}$$

其中，$\psi$ 为磁通链，等于$\mathit{\psi \:=\:N\phi }$。

$$\mathrm{\因此 \mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\mathit{t_{\mathrm{1}}}}\frac{\mathit{d\psi } }{\mathit{dt}}\mathit{i\:dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\psi_{\mathrm{1}}}\mathit{i\:d\psi }\cdot \ cdot \cdot (6)}$$

因此，式（6）表明，磁场中储存的能量等于电磁系统的（$\psi -i$）曲线（即磁化曲线）与磁链（$\psi $)轴如图2所示。

磁力曲线

对于线性电磁系统，磁场中存储的能量由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\mathit{\psi _{\mathrm{1}}}}\mathit{id\psi }\:= \:\int_{0}^{\psi_{\mathrm{1}} }\frac{\psi }{\mathit{L}}\mathit{d\psi }}$$

其中，$\psi\:=\:\mathit{N\phi }\:=\:\mathit{Li}$，L为线圈的自感。

$$\mathrm{\因此 \mathit{W_{f}}\:=\:\frac{\psi ^{\mathrm{2}}}{2\mathit{L}}\:=\:\frac{ 1}{2}\mathit{Li^{\mathrm{2}}}\cdot \cdot \cdot (7)}$$

热能概念

共能是一个虚构的概念，用于推导电磁系统中产生的扭矩的表达式。因此，余能在系统中没有物理意义。

基本上，余能是 $\psi -i$ 曲线和当前轴之间的面积，用 $\mathit{W_{f}^{'}}$ 表示，如图 2 所示。

在数学上，余能量由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{W_{f}^{'}}\:=\:\int_{0}^{i}\psi \mathit{di}\:=\:\int_{0}^{ i}\mathit{李\:di}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W_{f}^{'}}\:=\:\frac{1}{2}\mathit{Li^{\mathrm{2}}}\cdot \cdot \ cdot (8)}$$

从方程（7）和（8）可以清楚地看出，对于线性磁系统，磁场中存储的能量和共能是相等的。