宇宙学 - 角直径距离

在本章中，我们将了解什么是角直径距离以及它对宇宙学有何帮助。

对于现在的宇宙 -

到目前为止我们已经研究了两种类型的距离 -

距离作为红移的函数

考虑一个在时间t ₁辐射光子的星系，该光子在t ₀被观察者检测到。我们可以将到星系的正确距离写为 -

$$l_p = \int_{t_1}^{t_0} cdt$$

设星系的红移为z，

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{1}{a^2}\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$$

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}}{a}\压裂{1}{a}$$

$$\因此 \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{H(z)}{a}$$

现在，任意时刻t时星系的同动距离为 -

$$l_c = \frac{l_p}{a(t)}$$

$$l_c = \int_{t_1}^{t_0} \frac{cdt}{a(t)}$$

就 z 而言，

$$l_c = \int_{t_0}^{t_1} \frac{cdz}{H(z)}$$

有两种方法可以找到距离，如下 -

$$F = \frac{L}{4\pi d^2}$$

其中d是源处的距离。

如果我们知道光源的大小，它的角宽度就会告诉我们它与观察者的距离。

$$\theta = \frac{D}{l}$$

其中l是源的角直径距离。

考虑一个大小为 D 且角大小为dθ的星系。

我们知道，

$$d\theta = \frac{D}{d_A}$$

$$\因此 D^2 = a(t)^2(r^2 d\theta^2) \quad \因为 dr^2 = 0; \: d\phi ^2 \约 0$$

$$\右箭头 D = a(t)rd\theta$$

将r更改为r _c，即星系的同移距离，我们有 -

$$d\theta = \frac{D}{r_ca(t)}$$

在这里，如果我们选择t = t ₀，我们最终会测量到星系的当前距离。但D是在光子发射时测量的。因此，通过使用t = t ₀，我们得到了到星系的更大距离，从而低估了它的大小。因此，我们应该使用时间t ₁。

$$\因此 d\theta = \frac{D}{r_ca(t_1)}$$

将其与之前的结果进行比较，我们得到 -

$$d_\楔形 = a(t_1)r_c$$

$$r_c = l_c = \frac{d_\wedge}{a(t_1)} = d_\wedge(1+z_1) \quad \因为 1+z_1 = \frac{1}{a(t_1)}$$

所以，

$$d_\楔形 = \frac{c}{1+z_1} \int_{0}^{z_1} \frac{dz}{H(z)}$$

d _A是物体的角直径距离。