宇宙学 - 罗伯逊-沃克度量
在本章中，我们将详细了解罗伯逊-沃克度量。
比例因子随时间变化的模型
假设一个光子从遥远的星系发射出来。光子的空间在各个方向都是向前的。宇宙的膨胀是向各个方向进行的。让我们在以下步骤中看看比例因子如何随时间变化。
步骤 1 - 对于静态宇宙，比例因子为 1，即共动距离的值是物体之间的距离。
步骤 2 - 下图是仍在膨胀但速度递减的宇宙图，这意味着该图将从过去开始。t = 0表示宇宙从该点开始。
步骤 3 - 下图是宇宙以更快的速度膨胀的图。
步骤 4 - 下图是从现在开始收缩的宇宙的图表。
如果在宇宙收缩过程中比例因子的值变为0，则意味着物体之间的距离变为0，即适当的距离变为0。同动距离是当前宇宙中物体之间的距离，是一个常数。未来，当比例因子变为0时，一切都会变得更加接近。该模型取决于宇宙的组成部分。
平坦（欧几里得：没有曲率参数）膨胀宇宙的度量给出为 -
$$ds^2 = a^2(t)\left ( dr^2+r^2d\theta^2+r^2sin^2\theta d\varphi^2 \right )$$
对于时空，我们在上式中获得的线元素修改为 -
$$ds^2 = c^2dt^2 - \left \{ a^2(t) \left ( dr^2 + r^2d\theta ^2 + r^2sin^2\theta d\varphi^2 \右）\右\}$$
对于时空来说，光子发射的时间和被检测到的时间是不同的。适当的距离是指到物体的瞬时距离，该距离会因宇宙的膨胀而随时间而变化。它是光子从不同物体到达我们的距离。它与同移距离有关 -
$$d_p = a(t) \times d_c$$
其中 $d_p$ 是适当距离，$d_c$ 是同移距离，该距离是固定的。
将当前宇宙中物体测得的距离作为同移距离，即同移距离是固定的，不随膨胀而改变。对于过去，比例因子小于1，这表明适当的距离较小。
我们可以测量星系的红移。因此，适当的距离 $d_p$ 对应于 $c \times t(z)$，其中 $t(z)$ 是红移的回顾时间，c 是真空中的光速。回溯时间是红移(z)的函数。
基于上述概念，让我们分析一下在 $d_p = a(t) \times d_c$ 的情况下如何解释宇宙学红移。
假设星系 G 发射出一个光子（位于地球上）。$t_{em}$ 对应于光子发射的时间；$a(t_{em})$ 是光子发射时的比例因子。当探测到光子时，整个宇宙已经膨胀，即光子在探测时发生了红移。$t_{obs}$对应于检测到光子的时间，对应的比例因子为$a(t_{obs})$。
宇宙增长的因子由下式给出 -
$$\frac{a(t_{obs})}{a(t_{em})}$$
波长扩展的因子是 -
$$\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}}$$
这等于宇宙增长的因子。这些符号有其通常的含义。所以，
$$\frac{a(t_{obs})}{a(t_{em})} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}}$$
我们知道红移(z)是 -
$$z=\frac{\lambda_{obs} - \lambda_{em}}{\lambda_{em}} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}} - 1$$
$$1 + z = \frac{a(t_{obs})}{a(t_{em})}$$
比例因子的当前值为 1，因此 $a(t_{obs}) = 1$ 表示过去由 $a(t)$ 发射光子时的比例因子。
所以，
$$1 + z = \frac{1}{a(t)}$$
宇宙学中红移的解释
为了理解这一点，让我们看下面的例子：如果$z = 2$，则$a(t) = 1/3$。
这意味着自从光离开该物体以来，宇宙已经膨胀了三倍。接收到的辐射的波长扩大了三倍，因为空间在从发射物体传播的过程中扩大了相同的倍数。应该注意的是，在如此大的z值下，红移主要是宇宙学红移，它并不是物体相对于我们的实际退行速度的有效度量。
对于宇宙微波背景 (CMB)，z = 1089，这意味着当前宇宙已膨胀约1090倍。平坦、欧几里得、膨胀宇宙的度量给出为 -
$$ds^2 = a^2(t)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2sin^2\theta d\varphi^2)$$
我们希望以任何曲率写出度量。
罗伯逊和沃克证明了对于任何曲率宇宙（均匀且各向同性），度量给出为 -
$$ds^2 = a^2(t) \left [ \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\theta^2 + r^2sin^2\theta d\varphi^2 \右]$$
这通常被称为罗伯逊-沃克度量，对于任何空间拓扑都适用。请注意 $dr^2$ 中的额外因素。这里