哈勃参数和比例因子

在本章中，我们将讨论哈勃参数和比例因子。

哈勃常数与比例因子变化率

在本节中，我们将把哈勃常数与比例因子变化的分数率联系起来。

我们可以用下面的方式写速度并简化。

$$v = \frac{\mathrm{d} r_p}{\mathrm{d} t}$$

$$= \frac{d[a(t)r_c}{dt}$$

$$v = \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} \ast \frac{1}{a} \ast (ar_c)$$

$$v = \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} \ast \frac{1}{a} \ast r_p$$

这里，v是退行速度，a是比例因子，r _p是星系之间的适当距离。

哈勃的经验公式的本质是 -

$$v = H \ast r_p$$

因此，比较上述两个方程我们得到 -

哈勃参数 = 比例因子变化率

$$H = da/dt \ast 1/a$$

注意- 这不是一个常数，因为比例因子是时间的函数。因此它被称为哈勃参数而不是哈勃常数。

根据经验，我们写 -

$$H = V/D$$

因此，从这个方程，我们可以推断，由于D在增加，V是常数，那么H随着时间和宇宙的膨胀而减少。

在本节中，我们将了解如何将弗里德曼方程与 Robertson-Walker 模型结合使用。为了理解这一点，让我们以下面的图像为例，该图像具有距质量体M距离r _p的测试质量。

考虑到上图，我们可以将力表示为 -

$$F = G \ast M \ast \frac{m}{r^2_p}$$

其中，G是万有引力常数，ρ 是可观测宇宙内部的物质密度。

现在，假设球体内的质量密度均匀，我们可以写 -

$$M = \frac{4}{3} \ast \pi \ast r_p^3 \ast \rho$$

在我们的力方程中使用这些，我们得到 -

$$F = \frac{4}{3} \ast \pi \ast G \ast r_p \ast \rho \ast m$$

因此，我们可以将质量m的势能和动能写为 -

$$V = -\frac{4}{3} \ast \pi \ast G \ast r^2_p \ast m \ast \rho$$

$$KE = \frac{1}{2} \ast m \ast \frac{\mathrm{d} r_p^2}{\mathrm{d} t}$$

使用维里定理-

$$U = KE + V$$

$$U = \frac{1}{2} \ast m \ast \left ( \frac{\mathrm{d} r_p}{\mathrm{d} t} \right )^2 - \frac{4}{ 3} \ast \pi \ast G \ast r_p^2 \ast m \ast \rho$$

但在这里，$r_p = ar_c$。所以，我们得到 -

$$U = \frac{1}{2} \ast m \ast \left ( \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} \right )^2 r_c^2 - \frac{ 4}{3} \ast \pi \ast G \ast r_p^2 \ast m \ast \rho$$

进一步简化，我们得到弗里德曼方程，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi}{3} \ast G \ast \rho + \frac{2U}{m} \ ast r_c^2 \ast a^2$$

这里U是一个常数。我们还注意到，我们现在生活的宇宙以物质为主，而辐射能量密度很低。