红移和退行速度
哈勃的观测利用了径向速度与谱线移动相关的事实。在这里，我们将观察四种情况并找到后退速度 ($v_r$) 和红移 (z) 之间的关系。
案例1：源移动的非相对论案例
在这种情况下，v远小于c。源正在发出一些信号（声音、光等），这些信号以波前的形式传播。源帧中连续发送两个信号之间的时间间隔为Δts。观察者帧中两个连续信号的接收之间的时间间隔是Δto。
如果观察者和源都是静止的，则 Δts = Δto，但这里的情况并非如此。相反，关系如下。
$$\Delta t_o = \Delta t_s + \frac{\Delta l}{c}$$
现在，$\Delta l = v \Delta t_s$
另外，由于（波速 x 时间）= 波长，我们得到
$$\frac{\Delta t_o}{\Delta t_s} = \frac{\lambda_o}{\lambda_s}$$
从上面的方程，我们得到以下关系 -
$$\frac{\lambda_o}{\lambda_s} = 1 + \frac{v}{c}$$
其中 $\lambda _s$ 是源处信号的波长，$\lambda _o$ 是观察者解释的信号波长。
此处，由于源正在远离观察者，因此v为正。
红移 -
$$z = \frac{\lambda_o - \lambda_s}{\lambda_s} = \frac{\lambda_o}{\lambda_s} - 1$$
从上面的方程，我们得到红移如下。
$$z = \frac{v}{c}$$
案例2：观察者移动的非相对论案例
在这种情况下，v远小于c。这里，$\Delta l$ 是不同的。
$$\Delta l = v \Delta t_o$$
简化后，我们得到 -
$$\frac{\Delta t_o}{\Delta t_s} = \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )^{-1}$$
我们得到红移如下 -
$$z = \frac{v/c}{1-v/c}$$
由于v << c，情况 I 和情况 II 的红移表达式大致相同。
让我们看看上述两种情况下获得的红移有何不同。
$$z_{II} - z_I = \frac{v}{c} \left [ \frac{1}{1 - v/c}-1 \right ]$$
因此，由于 $(v/c)^2$ 因素，$z_{II} − z_{I}$ 是一个非常小的数字。
这意味着，如果 v << c，我们无法判断源是否在移动，或者观察者是否在移动。
现在让我们了解STR（狭义相对论）的基础知识 -
光速是一个常数。
当光源（或观察者）以与光速相当的速度移动时，就会观察到相对论效应。
时间膨胀：$\Delta t_o = \gamma \Delta t_s$
长度收缩：$\Delta l_o = \Delta t_s/\gamma$
这里，$\gamma$ 是洛伦兹因子，大于 1。
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}$$
案例3：源移动的相对论案例
在这种情况下，v 与 c 相当。参见与情况一相同的图。由于相对论效应，观察到时间膨胀，因此得到以下关系。（源以相对论速度移动）
$$\Delta t_o = \gamma \Delta t_s + \frac{\Delta l}{c}$$
$$\Delta l = \frac{v\gamma \Delta t_s}{c}$$
$$\frac{\Delta t_o}{\Delta t_s} = \frac{1 + v/c}{\sqrt{1- (v^2/c^2)}}$$
进一步简化，我们得到，
$$1 + z = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$$
上述表达式称为运动学多普勒频移表达式。
案例4：观察者移动的相对论案例
参见与案例二相同的图。由于相对论效应，观察到时间缩短，因此获得以下关系。（观察者以相对论速度运动）
$$\Delta t_o = \frac{\Delta t_s}{\gamma}+\frac{\Delta l}{c}$$
$$\Delta l = \frac{v\Delta t_o}{c}$$
$$\frac{\Delta t_o}{\Delta t_s} = \frac{\sqrt{1-( v^2/c^2)}}{1-v/c}$$
进一步简化，我们得到 -
$$1 + z = \sqrt{\frac{1+ v/c}{1- v/c}}$$
上面的表达式与我们在案例 III 中得到的表达式相同。
需要记住的要点
恒星的退行速度和红移是相关的量。
在非相对论情况下，我们无法确定源是移动的还是静止的。
在相对论情况下，源或观察者移动的红移-退行速度关系没有差异。
移动的时钟走得更慢，是相对论的直接结果。