解耦时的 CMB 温度

我们首先应该了解解耦的特点是什么。我们知道，能量要高得多，以至于物质仅以电离粒子的形式存在。因此，在解耦和重组时期，能量必须下降才能允许氢电离。可以对解耦时的温度进行近似计算。

执行方式如下 -

首先，仅考虑基态氢的电离。

$$hv \约k_BT$$

$$\因此 T \approx \frac{hv}{k_B}$$

对于基态氢的电离，hν为 13.6 eV，kB为玻尔兹曼常数8.61 × 10 ^-5 eV/K，表明温度为 1.5 × 105 开尔文。

这本质上告诉我们，如果温度低于 1.5 × 10 ⁵ K，中性Atomics就会开始形成。

我们知道光子与重子的比值约为5×10 ¹⁰。因此，即使在光子数量减少的图表尾部，仍然有足够的光子来电离氢Atomics。此外，电子和质子的重组并不能保证氢Atomics是基态的。激发态需要较少的电离能量。因此，应逐案进行严格的统计分析以获得准确的值。计算将温度设定为 3000K 左右。

为了便于解释，我们考虑将氢激发到第一激发态的情况。能量大于ΔE、Nγ (> ΔE)的光子数与光子总数Nγ的比率的一般表达式为 -

$$\frac{N_\gamma(> \Delta E)}{N_\gamma} \propto e^{\frac{-\Delta E}{kT}}$$

对于将氢激发到第一激发态的情况，ΔE为10.2 eV。现在，如果我们考虑每个重子至少有 1 个能量大于 10.2 的光子的高度保守数量（请记住比率为 5 × 10 10 ，我们从方程 3 中获得的温度为 4800 K（插入 Nγ ⁽ > ΔE) = Np)。

这是在第一激发态产生中性氢Atomics群的温度。电离它的温度明显较低。^{因此，我们获得了比 1.5 × 10 5} K更好的估计值，更接近可接受的 3000 K 值。

红移-温度关系

为了理解红移和温度之间的关系，我们采用以下两种方法。

由维恩定律我们知道

$$\lambda_mT = 常数$$

为了将其与红移联系起来，我们使用 -

$$1+z = \frac{\lambda_0}{\lambda_e}$$

由于 $λ_oT_o = λ_eT(z)$，我们得到 -

$$T(z) = T_0\frac{\lambda_0}{\lambda_e} = T_0(1+z)$$

将T _o设置为当前值3K，我们可以得到给定红移的温度值。

就频率而言，我们知道 -

$$v_0 = \frac{v_e}{1+z}$$

$$B_vdv = \frac{2hv^3}{c^2} \frac{dv}{e^{hv/kT}-1}$$

这告诉我们一个能量区间内光子的净能量，hν是单个光子的能量。因此，我们可以通过Bνdν/hν获得光子数。

如果 $n_{νo}$ 代表当前，$n_{νe}$ 代表发出，我们得到 -

$$\frac{n_{v_e}}{n_{v_0}} = (1+z)^3$$

经过简化，我们得到，

$$n_{v_0} =\frac{2v_c^2}{c^2}\frac{dv_c}{e^{hv/kT}-1}\frac{1}{(1+z)^3}= \frac{2v_0^2}{c^2}\frac{dv_c}{e^{hv/kT}-1}$$

这再次给了我们维恩定律，因此可以得出结论：

$$T(z) = T_0\frac{\lambda_0}{\lambda_e} = T_0(1+z)$$