宇宙学 - 光度距离

正如前一章所讨论的，红移z处到光源的角直径距离由下式给出：

$$d_\楔形 (z_{gal}) = \frac{c}{1+z_{gal}}\int_{0}^{z_{gal}} \frac{1}{H(z)}dz$ $

$$d_\楔形(z_{gal}) = \frac{r_c}{1+z_{gal}}$$

其中 $r_c$ 是同移距离。

光度距离取决于宇宙学，它被定义为观测到的通量f距物体的距离。

如果远处物体的固有光度 $d_L$ 已知，我们可以通过测量通量 $f$ 来计算其光度，通量 $f$ 确定为 -

$$d_L(z) = \sqrt{\frac{L}{4\pi f}}$$

光子能量发生红移。

$$\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{emi}} = \frac{a_0}{a_e}$$

其中$\lambda_{obs}、\lambda_{emi}$是观测和发射的波长，$a_0、a_e$是相应的比例因子。

$$\frac{\Delta t_{obs}}{\Delta t_{emi}} = \frac{a_0}{a_e}$$

其中 $\Delta_t{obs}$ 被观察为光子时间间隔，而 $\Delta_t{emi}$ 是光子发射的时间间隔。

$$L_{emi} = \frac{nhv_{emi}}{\Delta t_{emi}}$$

$$L_{obs} = \frac{nhv_{obs}}{\Delta t_{obs}}$$

$\Delta t_{obs}$ 会比 $\Delta t_{emi}$ 花费更多时间，因为探测器应该接收所有光子。

$$L_{obs} = L_{emi}\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )^2$$

$$L_{观测值} < L_{emi}$$

$$f_{obs} = \frac{L_{obs}}{4\pi d_L^2}$$

对于非膨胀宇宙，光度距离与同移距离相同。

$$d_L = r_c$$

$$\Rightarrow f_{obs} = \frac{L_{obs}}{4\pi r_c^2}$$

$$f_{obs} = \frac{L_{emi}}{4 \pi r_c^2}\left ( \frac{a_e}{a_0} \right )^2$$

$$\Rightarrow d_L = r_c\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

我们正在寻找光度距离 $d_L$ 来计算发射物体 $L_{emi}$ 的光度 -

光度距离$d_L$与角直径距离$d_A.$之间的关系

我们知道 -

$$d_A(z_{gal}) = \frac{d_L}{1+z_{gal}}\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

$$d_L = (1 + z_{gal})d_A(z_{gal})\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

发射光子时的比例因子由下式给出 -

$$a_e = \frac{1}{(1+z_{gal})}$$

当前宇宙的比例因子是 -

$$a_0 = 1$$

$$d_L = (1 + z_{gal})^2d_\楔形(z_{gal})$$

选择 $d_L$ 或 $d_A$ 哪一个？

示例- 如果两个星系具有相等的红移 (z = 1)，并且在天空平面中它们相距2.3 角秒，那么这两个星系之间的最大物理距离是多少？

为此，请使用 $d_A$ 如下 -

$$d_A(z_{gal}) = \frac{c}{1+z_{gal}}\int_{0}^{z_{gal}} \frac{1}{H(z)}dz$$

其中 z = 1 根据星系的宇宙学参数替换 H(z)。

需要记住的要点