宇宙学 - 辐射主导的宇宙

在本章中，我们将讨论与辐射主导宇宙相关的弗里德曼方程的解。首先，我们将物质的能量密度与辐射的能量密度进行比较。这将使我们能够了解我们的宇宙是由物质主导还是由辐射主导。

辐射能量密度

目前宇宙中普遍存在的辐射几乎不能归因于恒星源，但主要归因于残余的CMB（宇宙微波背景）。

辐射的能量密度 $\epsilon_{\gamma,0}$ 可以表示如下 -

$$\epsilon_{\gamma,0} = aT_0^4$$

这里，a是辐射常数，其表达式 $(8\pi^5k_B^4)/(15h^3c^2)$ 等于a = 7.5657 × 10 ⁻¹⁵ erg\: cm ⁻³ K ⁻⁴。我们在这里考虑的温度 T0 对应于 CMB 对应的黑体温度。

代入结果，我们有，

$$\epsilon_{\gamma,0} = aT_0^4 = 4 \times 10^{-13}erg\: cm^{-3}$$

在下面的计算中，我们假设宇宙平坦且 K = 0。我们将物质的能量密度视为 $\epsilon = \rho c^2$。我们考虑以下几点 -

$$\rho_{m,0}c^2 = 0.3\rho_{c,0}c^2 = 0.3 \times \frac{3H_0^2}{8\pi G} \times c^2$$

$$\rho_{m,0}c^2 \simeq 2 \times 10^{-8} erg \:cm^{-3}$$

$$\rho_{b,0}c^2 = 0.03\rho_{c,0}c^2 = 0.03 \times \frac{3H_0^2}{8\pi G} \times c^2$$

$$\rho_{b,0}c^2 \simeq 2 \times 10^{-9} erg\: cm^{-3}$$

因此，从上面的计算中，我们看到我们生活在一个以物质为主的宇宙中。CMB 非常冷的事实可以证明这一点。当我们回顾过去时，宇宙微波背景的温度会变得更高，并且能够得出结论，宇宙可能曾经存在一个由辐射主导的时代。

流体方程告诉我们 -

$$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho + \frac{P}{c^2} \right ) = 0$$

如果我们考虑一个尘埃宇宙，我们就会有 P = 0。抛开之前的结果，我们认为宇宙是由辐射主导的。

$$\dot{\rho}_{rad} + 3 \frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho_{rad} + \frac{P}{c^2} \right ) = 0 $$

使用压力关系 $P_{rad} = \rho c^{2/3}$ 我们有 -

$$\dot{\rho}_{rad} + 3 \frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho_{rad} + \frac{\rho_{rad}}{3} \right ) = 0$$

$$\dot{\rho}_{rad} + 4\frac{\dot{a}}{a}(\rho_{rad}) = 0$$

进一步简化，我们有，

$$\frac{1}{a^4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\rho_{rad}a^4) = 0$$

$$\rho_{rad}a^4 =\: 常数$$

$$\rho_{rad} \propto \frac{1}{a^4}$$

上面的结果显示了a 与 $\rho$ 的4^{次方逆变化。}

这可以在物理上解释为 $a^{-3}$ 来自体积随其增加而变化。剩余的 $a^{-1}$ 可以视为光子因宇宙空间膨胀而损失的能量（宇宙红移 1 + z = a ^-1）。

下图显示了物质和辐射密度随时间的变化。

对于平坦的、辐射主导的宇宙，我们将得到弗里德曼方程如下 -

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G\rho}{3}$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\frac{\rho_0}{a^4}$$

在简化并将解应用于微分方程时，我们有 -

$$(\dot{a})^2 = \frac{8\pi G\rho_0}{3a^2}$$

$$\Rightarrow a(t) \propto t^{\frac{1}{2}}$$

因此，我们有 -

$$a(t) = a_0 \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{\frac{1}{2}}$$

从上式我们可以看出，尺度因子的增加速度比尘埃宇宙要小。