宇宙学 - 物质主导的宇宙

在本章中，我们将讨论与物质主导宇宙相关的弗里德曼方程的解。在宇宙学中，因为我们看到的一切都是大尺度的，太阳系、星系，一切都恰巧像尘埃粒子（这就是我们用眼睛看到的），我们可以称其为尘埃宇宙或纯物质宇宙。

在流体方程中，

$$\dot{\rho} = -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\rho -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\左 ( \frac{P}{c^2} \右 )$$

我们可以看到有一个压力项。对于尘埃宇宙，P = 0，因为物质的能量密度将大于辐射压，并且物质不以相对论速度运动。

因此，流体方程将变为，

$$\dot{\rho} = -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\rho$$

$$\Rightarrow \dot{\rho}a + 3\dot{a}\rho = 0$$

$$\Rightarrow \frac{1}{a^3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(a^3 \rho) = 0$$

$$\Rightarrow \rho a^3 =\: 常数$$

$$\Rightarrow \rho \propto \frac{1}{a^3}$$

这个等式中没有反直觉，因为密度应按 $a^{-3}$ 缩放，因为体积按 $a^3$ 增加。

根据最后一个关系，我们可以说，

$$\frac{\rho (t)}{\rho_0} = \left [ \frac{a_0}{a(t)} \right ]^3$$

对于当前宇宙，等于 0 的a_应该是1。所以，

$$\rho(t) = \frac{\rho_0}{a^3}$$

在物质主导的平坦宇宙中，k = 0。因此，弗里德曼方程将变为，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8 \pi G\rho}{3}$$

$$\dot{a}^2 = \frac{8\pi G \rho a^2}{3}$$

通过解这个方程，我们会得到，

$$a \propto t^{2/3}$$

$$\frac{a(t)}{a_0} = \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

$$a(t) = \left( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

这意味着宇宙将以递减的速度继续增加。下图显示了尘埃宇宙的膨胀。

ρ 如何随时间变化？

看一下下面的等式 -

$$\frac{\rho(t)}{\rho_0} = \left ( \frac{t_0}{t} \right )^2$$

我们知道比例因子随时间变化$t^{2/3}$。所以，

$$a(t) = \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

对它进行微分，我们会得到，

$$\frac{(da)}{dt} = \dot{a} = \frac{2}{3} \left ( \frac{t^{-1/3}}{t_0} \right )$$

我们知道哈勃常数是，

$$H(t) = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3t}$$

这是爱因斯坦-德西特宇宙的方程。如果我们想计算宇宙目前的年龄，

$$t_0 = t_{年龄} = \frac{2}{3H_0}$$

输入当前宇宙的 $H_0$ 值后，我们将得到宇宙年龄的值为9 Gyrs。我们的银河系中有许多球状星团，它们的年龄都比这个大。

这就是尘埃宇宙的全部内容。现在，如果您假设宇宙由辐射主导，而不是由物质主导，那么辐射能量密度为 $a^{-4}$ 而不是 $a^{-3}$。我们将在下一章看到更多内容。