控制系统 - 波特图

伯德图或伯德图由两个图组成 -

幅度图
相图

在这两个图中，x 轴表示角频率（对数刻度）。而 y 轴表示幅度图中开环传递函数的幅度（线性刻度）和相位图中开环传递函数的相位角（线性刻度）。

开环传递函数的幅度（以 dB 为单位）为-

$$M=20\: \log|G(j\omega)H(j\omega)|$$

开环传递函数的相位角（以度为单位）为-

$$\phi=\角度 G(j\omega)H(j\omega)$$

注意- 对数的底是 10。

波特图基础

下表显示了开环传递函数中各项的斜率、幅度和相位角值。该数据在绘制波特图时非常有用。

术语类型	G(jω)H(jω)	斜率(dB/dec)	幅度（分贝）	相位角（度）
持续的	$K$	$0$	$20 \log K$	$0$
原点为零	$j\欧米伽$	$20$	$20 \log \omega$	$90$
原点处有“n”个零	$(j\omega)^n$	$20\: n$	$20\: n \log \omega$	$90\：n$
原点极点	$\frac{1}{j\omega}$	$-20$	$-20 \log \omega$	$-90 \: 或 \: 270$
原点处的“n”极	$\frac{1}{(j\omega)^n}$	$-20\: n$	$-20 \: n \log \omega$	$-90 \: n \: 或 \: 270 \: n$
简单的零	$1+j\欧米伽 r$	$20$	$0\: 为\: \omega < \frac{1}{r}$ $20\: \log \omega r\: 为 \: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: 表示 \: \omega < \frac{1}{r}$ $90 \: 对于 \: \omega > \frac{1}{r}$
简易杆	$\frac{1}{1+j\omega r}$	$-20$	$0\: 为\: \omega < \frac{1}{r}$ $-20\: \log \omega r\: 对于\: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: 表示 \: \omega < \frac{1}{r}$ $-90\: 或 \: 270 \: 对于\: \omega > \frac{1}{r}$
二阶导数项	$\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )$	$40$	$40\: \log\: \omega_n\: 对于 \: \omega < \omega_n$ $20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: 对于 \: \omega=\omega_n$ $40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$0 \: 表示 \: \omega < \omega_n$ $90 \: 对于 \: \omega = \omega_n$ $180 \: 对于 \: \omega > \omega_n$
二阶积分项	$\frac{1}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$	$-40$	$-40\: \log\: \omega_n\: 对于 \: \omega < \omega_n$ $-20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: 对于 \: \omega=\omega_n$ $-40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$-0 \: 表示 \: \omega < \omega_n$ $-90 \: 对于 \: \omega = \omega_n$ $-180 \: 对于 \: \omega > \omega_n$

考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = K$。

幅度 $M = 20\: \log K$ dB

相位角 $\phi = 0$ 度

如果 $K = 1$，则幅度为 0 dB。

如果 $K > 1$，则幅度将为正。

如果 $K < 1$，则幅度将为负。

下图显示了相应的波特图。

幅度图是一条水平线，与频率无关。0 dB 线本身就是 K 值为 1 时的幅度图。对于 K 的正值，水平线将在 0 dB 线上方移动 $20 \:\log K$ dB。对于 K 的负值，水平线将在 0 dB 线以下移动 $20\: \log K$ dB。零度线本身是 K 所有正值的相位图。

考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = s$。

幅度 $M = 20 \log \omega$ dB

相位角 $\phi = 90^0$

当 $\omega = 0.1$ rad/sec 时，幅度为 -20 dB。

当 $\omega = 1$ rad/sec 时，幅度为 0 dB。

当 $\omega = 10$ rad/sec 时，幅度为 20 dB。

下图显示了相应的波特图。

幅度图是一条斜率为 20 dB/dec 的线。这条线从 $\omega = 0.1$ rad/sec 开始，幅度为 -20 dB，并以相同的斜率继续。它在 $\omega = 1$ rad/sec 处触及 0 dB 线。在本例中，相位图为 90 ⁰线。

考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = 1 + s\tau$。

幅度 $M = 20\: log \sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dB

相位角 $\phi = \tan^{-1}\omega\tau$ 度

对于 $ω < \frac{1}{\tau}$ ，幅度为 0 dB，相位角为 0 度。

对于 $\omega > \frac{1}{\tau}$ ，幅度为 $20\: \log \omega\tau$ dB 且相位角为 90 ⁰。

下图显示了相应的波特图。

幅度图的幅度为 0 dB，最高可达 $\omega=\frac{1}{\tau}$ rad/sec。从 $\omega = \frac{1}{\tau}$ rad/sec 开始，它的斜率为 20 dB/dec。在这种情况下，相位图在 $\omega = \frac{1}{\tau}$ rad/sec 范围内的相位角为 0 度，从这里开始，相位角为 90 ⁰。该波德图称为渐近波德图。

由于幅度图和相位图用直线表示，因此精确波德图类似于渐近波德图。唯一的区别是精确波德图将具有简单的曲线而不是直线。

同样，您可以绘制表中给出的开环传递函数的其他项的波特图。