控制系统 - 波特图的构建

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在本章中，让我们详细了解如何构建（绘制）波特图。

波特图的构建规则

构建波特图时请遵循这些规则。

• 以标准时间常数形式表示开环传递函数。

• 将 $s=j\omega$ 代入上式中。

• 找到角频率并将它们按升序排列。

• 将波特图的起始频率视为最小转角频率的 1/10^或0.1 rad/sec（以较小值为准），并绘制最大转角频率 10 倍的波特图。

• 绘制每一项的幅度图并正确组合这些图。

• 绘制每一项的相位图并正确组合这些图。

注- 转角频率是幅度图斜率发生变化的频率。

例子

考虑闭环控制系统的开环传递函数

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$

让我们将这个开环传递函数转换为标准时间常数形式。

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$

因此，我们可以使用前面提到的规则在半对数表中绘制波特图。

使用波特图进行稳定性分析

从伯德图中，我们可以根据这些参数的值判断控制系统是稳定、边际稳定还是不稳定。

• 增益交叉频率和相位交叉频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交叉频率

相位图的相位为 -180 ⁰时的频率称为相位交叉频率。它用$\omega_{pc}$表示。相位交叉频率的单位是rad/sec。

增益交叉频率

幅度图幅度为零 dB 时的频率称为增益交叉频率。它用$\omega_{gc}$表示。增益交叉频率的单位是rad/sec。

下面列出了基于相位交叉频率和增益交叉频率之间关系的控制系统的稳定性。

• 如果相位交叉频率$\omega_{pc}$大于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统稳定。

• 如果相位交叉频率 $\omega_{pc}$ 等于增益交叉频率 $\omega_{gc}$，则控制系统是边际稳定的。

• 如果相位交叉频率$\omega_{pc}$小于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统不稳定。

获得利润

增益裕度 $GM$ 等于相位交叉频率处的 dB 幅度负值。

$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )=20logM_{pc}$$

其中，$M_{pc}$ 是相位交叉频率处的幅度。增益裕度（GM）的单位是dB。

相位裕度

相位裕度 $PM$ 的公式为

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$ 是增益交叉频率处的相位角。相位裕度的单位是度。

下面列出了基于增益裕度和相位裕度之间关系的控制系统的稳定性。

• 如果增益裕度 $GM$ 和相位裕度 $PM$ 均为正，则控制系统稳定。

• 如果增益裕度 $GM$ 和相位裕度 $PM$ 都等于 0，则控制系统是边际稳定的。

• 如果增益裕度$GM$和/或相位裕度$PM$为负，则控制系统不稳定。