控制系统 - 数学模型

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控制系统可以用一组称为数学模型的数学方程来表示。这些模型对于控制系统的分析和设计很有用。控制系统分析就是在已知输入和数学模型的情况下求出输出。控制系统的设计就是在已知输入和输出的情况下找到数学模型。

主要使用以下数学模型。

• 微分方程模型
• 传递函数模型
• 状态空间模型

让我们讨论本章的前两个模型。

微分方程模型

微分方程模型是控制系统的时域数学模型。对于微分方程模型，请遵循以下步骤。

• 将基本定律应用于给定的控制系统。

• 通过消除中间变量，得到输入和输出的微分方程。

例子

考虑如下图所示的电气系统。该电路由电阻器、电感器和电容器组成。所有这些电气元件都是串联的。施加到该电路的输入电压是$v_i$，电容器两端的电压是输出电压$v_o$。

该电路的网格方程为

$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$

代入上式中通过电容器的电流$i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$。

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2} +v_o$$

$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o} {\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

上式是二阶微分方程。

传递函数模型

传递函数模型是控制系统的s域数学模型。线性时不变（LTI）系统的传递函数被定义为假设所有初始条件为零，输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换的比率。

如果$x(t)$和$y(t)$是LTI系统的输入和输出，则相应的拉普拉斯变换是$X(s)$和$Y(s)$。

因此，LTI系统的传递函数等于$Y(s)$与$X(s)$之比。

$$即，\: 转移\: 函数 =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

LTI系统的传递函数模型如下图所示。

在这里，我们表示一个 LTI 系统，其中包含一个内部具有传递函数的块。该块有一个输入 $X(s)$ 和输出 $Y(s)$。

例子

之前，我们得到了电力系统的微分方程为

$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\文本{d}t}+\left (\frac{1}{LC} \right)v_o=\left (\frac{1}{LC} \right)v_i$$

在两侧应用拉普拉斯变换。

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{ 1}{LC} \右 )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right ) s+\frac{1}{LC}}$$

在哪里，

• $v_i(s)$ 是输入电压 $v_i$ 的拉普拉斯变换

• $v_o(s)$ 是输出电压 $v_o$ 的拉普拉斯变换

上式是二阶电力系统的传递函数。该系统的传递函数模型如下所示。

在这里，我们展示了一个二阶电气系统，其中包含一个内部具有传递函数的块。该块有一个输入 $V_i(s)$ 和一个输出 $V_o(s)$。