根轨迹的构建

根轨迹是 s 域中的图形表示，并且关于实轴对称。因为开环极点和零点存在于 s 域中，其值为实数或复共轭对。在本章中，我们将讨论如何构造（绘制）根轨迹。

根轨迹构建规则

请遵循以下规则来构建根轨迹。

规则 1 - 在 's' 平面中找到开环极点和零点。

规则 2 - 找出根轨迹分支的数量。

我们知道根轨迹分支从开环极点开始，到开环零点结束。因此，根轨迹分支的数量N等于有限开环极点P的数量或有限开环零点Z的数量，以较大者为准。

在数学上，我们可以将根轨迹分支的数量N写为

$N=P$ 如果 $P\geq Z$

$N=Z$ 如果 $P<Z$

规则 3 - 识别并绘制实轴根轨迹分支。

如果某点的开环传递函数的角度是 180 ⁰的奇数倍，则该点位于根轨迹上。如果实轴上某个点的左侧存在奇数个开环极点和零点，则该点位于根轨迹分支上。因此，满足该条件的点的分支就是根轨迹分支的实轴。

规则 4 - 求质心和渐近线角度。

如果 $P = Z$，则所有根轨迹分支都从有限开环极点开始，到有限开环零点结束。
如果 $P > Z$ ，则 $Z$ 根轨迹分支数从有限开环极点开始，以有限开环零点结束，并且 $P − Z$ 根轨迹分支数从有限开环极点开始，以无限结束开环零点。
如果 $P < Z$ ，则 P 个根轨迹分支从有限开环极点开始，到有限开环零点结束，并且 $Z − P$ 个根轨迹分支从无限开环极点开始，到有限开环结束零。

因此，当 $P \neq Z$ 时，一些根轨迹分支接近无穷大。渐近线给出了这些根轨迹分支的方向。渐近线在实轴上的交点称为质心。

我们可以使用这个公式计算质心α ，

$\alpha = \frac{\sum 实数部分: 有限开环: 极点\:-\sum 实数部分: 有限开环\: : 零}{PZ}$

渐近线 θ的角度公式为

$$\theta=\frac{(2q+1)180^0}{PZ}$$

在哪里，

$$q=0,1,2,....,(PZ)-1$$

规则 5 - 找到根轨迹分支与虚轴的交点。

我们可以利用劳斯数组法和特殊情况(ii)计算根轨迹分支与虚轴相交的点以及该点的K值。

如果劳斯数组的任何行的所有元素均为零，则根轨迹分支与虚轴相交，反之亦然。
以这样的方式识别行：如果我们将第一个元素设为零，则整行的元素都为零。求出该组合的K值。
将这个K值代入辅助方程中。您将得到根轨迹分支与虚轴的交点。

规则 6 - 找到突破点和磨合点。

如果两个开环极点之间存在实轴根轨迹分支，则这两个开环极点之间将存在一个脱离点。
如果两个开环零点之间存在实轴根轨迹分支，则这两个开环零点之间将存在一个切入点。

注- 脱离点和切入点仅存在于实轴根轨迹分支上。

按照以下步骤找到脱离点和切入点。

根据特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$，将 $K$ 写成 $s$。
对 s 求 $K$ 微分并使其等于 0。将 $s$ 的这些值代入上面的方程中。
$K$ 值为正的 $s$ 值是断点。

规则 7 - 求出发角和到达角。

可以分别在复共轭开环极点和复共轭开环零点计算出发角和到达角。

出发角$\phi_d$的公式为

$$\phi_d=180^0-\phi$$

到达角$\phi_a$的公式为

$$\phi_a=180^0+\phi$$

在哪里，

$$\phi=\sum \phi_P-\sum \phi_Z$$

例子

现在让我们画出具有开环传递函数的控制系统的根轨迹，$G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}$

步骤 1 - 给定的开环传递函数在 $s = 0、s = -1$ 和 $s = -5$ 处具有三个极点。它没有任何零。因此，根轨迹分支的数量等于开环传递函数的极点数量。

$$N=P=3$$

三个极点的位置如上图所示。$s = −1$ 和 $s = 0$ 之间的线段是根轨迹在实轴上的一个分支。根轨迹在实轴上的另一个分支是$s=−5$左边的线段。

步骤 2 - 我们将使用给定的公式获得质心的值和渐近线的角度。

质心 $\alpha = −2$

渐近线的角度为 $\theta = 60^0,180^0$ 和 $300^0$。

质心和三个渐近线如下图所示。

步骤 3 - 由于两个渐近线的角度分别为 $60^0$ 和 $300^0$，因此两个根轨迹分支与虚轴相交。通过使用劳斯数组方法和特殊情况(ii)，根轨迹分支与虚轴相交于$j\sqrt{5}$和$−j\sqrt{5}$。

在极点 $s = −1$ 和 $s = 0$ 之间的实轴根轨迹分支上将存在一个分离点。按照给出的计算突破点的过程，我们将得到 $s = −0.473$。

给定控制系统的根轨迹图如下图所示。

这样，您可以绘制任何控制系统的根轨迹图并观察闭环传递函数的极点运动。

从根轨迹图中，我们可以知道不同类型阻尼的K值范围。

添加开环极点和零点对根轨迹的影响

通过添加开环极点和开环零点，可以在's' 平面内移动根轨迹。

如果我们在开环传递函数中包含一个极点，那么一些根轨迹分支将向 's' 平面的右半部分移动。因此，阻尼比 $\delta$ 减小。这意味着，阻尼频率 $\omega_d$ 增加，而时域规格（例如延迟时间 $t_d$、上升时间 $t_r$ 和峰值时间 $t_p$）减少。但是，它影响了系统的稳定性。
如果我们在开环传递函数中包含零，那么一些根轨迹分支将向 's' 平面的左半部分移动。因此，它将增加控制系统的稳定性。在这种情况下，阻尼比$\delta$增加。这意味着，阻尼频率 $\omega_d$ 降低，而时域规格（例如延迟时间 $t_d$、上升时间 $t_r$ 和峰值时间 $t_p$）增加。

因此，根据要求，我们可以将开环极点或零点包含（添加）到传递函数中。