控制系统 - 极坐标图

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在前面的章节中，我们讨论了波特图。在那里，我们有两个单独的图，分别表示幅度和相位作为频率的函数。现在让我们讨论极坐标图。极坐标图是可以在幅度和相位之间绘制的图。这里，幅度仅由正常值表示。

$G(j\omega)H(j\omega)$ 的极坐标形式为

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \角度 G(j\omega)H(j\omega)$$

极坐标图是通过将 $\omega$ 从 0 变化到 ∞ 来在 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的幅度和相位角之间绘制的图。极坐标图表如下图所示。

该图表由同心圆和径向线组成。同心圆和径向线分别表示幅度和相位角。这些角度由逆时针方向的正值表示。类似地，我们可以用负值表示顺时针方向的角度。例如，逆时针方向的角度270 ⁰等于顺时针方向的角度-90 ^{0 。}

绘制极坐标图的规则

请遵循以下规则来绘制极坐标图。

• 将 $s = j\omega$ 代入开环传递函数中。

• 写出 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的幅度和相位表达式。

• 通过代入 $\omega = 0$ 求出 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的起始幅度和相位。因此，极坐标图以该幅度和相位角开始。

• 通过代入 $\omega = \infty$ 求出 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的结束幅度和相位。因此，极坐标图以该幅度和相位角结束。

• 检查极坐标图是否与实轴相交，通过使 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的虚数项等于 0 并找到 $\omega$ 的值。

• 检查极坐标图是否与虚轴相交，通过使 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的实项等于 0 并找到 $\omega$ 的值。

• 为了更清楚地绘制极坐标图，通过考虑 $\omega$ 的其他值来找到 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的幅度和相位。

例子

考虑闭环控制系统的开环传递函数。

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

让我们使用上述规则绘制该控制系统的极坐标图。

步骤 1 - 将 $s = j\omega$ 代入开环传递函数中。

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

开环传递函数的大小为

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

开环传递函数的相位角为

$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$

步骤 2 - 下表显示了开环传递函数在 $\omega = 0$ rad/sec 和 $\omega = \infty$ rad/sec 时的幅度和相位角。

因此，极坐标图从 (∞,−90 ^{0 ) 开始，到 (0,−270 0} )结束。括号内的第一项和第二项分别表示幅度和相位角。

步骤 3 - 根据起始和结束极坐标，该极坐标图将与负实轴相交。负实轴对应的相位角为-180 ⁰或180 ⁰。因此，通过将开环传递函数的相位角等于 −180 ⁰或 180 ⁰，我们将得到 $\omega$ 值 $\sqrt{2}$。

通过将 $\omega = \sqrt{2}$ 代入开环传递函数的幅度，我们将得到 $M = 0.83$。^{因此，当 $\omega = \sqrt{2}$ 且极坐标为 (0.83,−180 0} )时，极坐标图与负实轴相交。

因此，我们可以利用极坐标图表上的上述信息绘制极坐标图。