控制系统 - 时间响应分析

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我们可以在时域和频域上分析控制系统的响应。我们将在后面的章节中讨论控制系统的频率响应分析。现在让我们讨论控制系统的时间响应分析。

什么是时间响应？

如果控制系统的输出随输入而变化，则称为控制系统的时间响应。时间响应由两部分组成。

• 瞬态响应
• 稳态响应

控制系统在时域的响应如下图所示。

这里，图中显示了瞬态和稳态。与这些状态相对应的响应称为瞬态响应和稳态响应。

在数学上，我们可以将时间响应 c(t) 写为

$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$

在哪里，

• c _tr (t) 是瞬态响应
• c _ss (t) 是稳态响应

瞬态响应

将输入施加到控制系统后，输出需要一定的时间才能达到稳定状态。因此，输出将处于瞬态，直到达到稳态。因此，控制系统在瞬态期间的响应称为瞬态响应。

对于较大的“t”值，瞬态响应将为零。理想情况下，“t”的值是无穷大，实际上，它是常数的五倍。

从数学上来说，我们可以把它写成

$$\lim_{t\rightarrow \infty}c_{tr}(t)=0$$

稳态响应

即使在较大“t”值的瞬态响应为零值之后仍然保留的时间响应部分称为稳态响应。这意味着，即使在稳态期间，瞬态响应也将为零。

例子

让我们找到控制系统时间响应的瞬态和稳态项 $c(t)=10+5e^{-t}$

这里，第二项 $5e^{-t}$ 将为零，因为t表示无穷大。所以，这是瞬态术语。即使t接近无穷大，第一项 10 仍然存在。所以，这就是稳态项。

标准测试信号

标准测试信号有脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号和抛物线信号。这些信号用于通过输出的时间响应来了解控制系统的性能。

单位脉冲信号

单位脉冲信号 δ(t) 定义为

$\delta (t)=0$ 对于 $t\neq 0$

和 $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$

下图为单位脉冲信号。

因此，单位脉冲信号仅在“t”等于零时存在。在“t”周围的小时间间隔下该信号的面积等于零是一。对于“t”的所有其他值，单位脉冲信号的值为零。

单位阶跃信号

单位阶跃信号 u(t) 定义为

$$u(t)=1;t\geq 0$$

$=0; t<0$

下图显示了单位阶跃信号。

因此，对于“t”的所有正值（包括零）都存在单位阶跃信号。在此区间内其值为 1。对于“t”的所有负值，单位阶跃信号的值为零。

单位斜坡信号

单位斜坡信号 r(t) 定义为

$$r(t)=t; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我们可以将单位斜坡信号 $r(t)$ 写成单位阶跃信号 $u(t)$ 为

$$r(t)=tu(t)$$

下图显示了单位斜坡信号。

因此，对于“t”的所有正值（包括零）都存在单位斜坡信号。在此时间间隔内，其值相对于“t”线性增加。对于“t”的所有负值，单位斜坡信号的值为零。

单位抛物线信号

单位抛物线信号 p(t) 定义为：

$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我们可以将单位抛物线信号 $p(t)$ 写为单位阶跃信号 $u(t)$ ，

$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$

下图显示了单位抛物线信号。

因此，对于“t”的所有正值（包括零）都存在单位抛物线信号。在此时间间隔内，其值相对于“t”非线性增加。对于“t”的所有负值，单位抛物线信号的值为零。