二阶系统响应

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在本章中，我们讨论二阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统框图。这里，开环传递函数 $\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ 与单位负反馈连接。

我们知道，具有单位负反馈的闭环控制系统的传递函数为

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

将 $G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ 代入上式中。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$

's' 的幂是分母项中的 2。因此，上述传递函数是二阶的，并且该系统被称为二阶系统。

特征方程为 -

$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$

特征方程的根是 -

$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta \omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$

$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$

• 当 δ = 0 时，两个根为虚数。
• 当 δ = 1 时，两个根是实数且相等。
• 当 δ > 1 时，两个根都是实数根，但不相等。
• 当 0 < δ < 1 时，两个根是复共轭。

我们可以将 $C(s)$ 方程写为：

$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$$

在哪里，

• C(s)是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换

• R(s)是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换

• ω _n是固有频率

• δ是阻尼比。

按照以下步骤获取二阶系统在时域中的响应（输出）。

• 对输入信号 $r(t)$ 进行拉普拉斯变换。

• 考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$

• 将 $R(s)$ 值代入上述方程中。

• 如果需要，计算 $C(s)$ 的部分分数。

• 对 $C(s)$ 应用拉普拉斯逆变换。

二阶系统的阶跃响应

将单位阶跃信号视为二阶系统的输入。

单位阶跃信号的拉普拉斯变换为，

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

我们知道二阶闭环控制系统的传递函数为

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

情况1：δ = 0

将 $\delta = 0$ 代入传递函数中。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )R(s)$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上述方程中。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\ omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) \right )u(t)$$

因此，当 $/delta = 0$ 时，二阶系统的单位阶跃响应将是具有恒定幅度和频率的连续时间信号。

情况2：δ = 1

代入传递函数中，$/delta = 1$。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)R(s)$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上述方程中。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)\left ( \frac{1}{s} \right)=\frac{\omega_n ^2}{s(s+\omega_n)^2}$$

计算 $C(s)$ 的部分分数。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C {(s+\omega_n)^2}$$

化简后，A、B、C 的值分别为 $1、\: -1\: 和 \: −\omega _n$。将这些值代入 $C(s)$ 的上述部分分数展开式中。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega_nte^{-\omega_nt})u(t)$$

因此，二阶系统的单位阶跃响应将尝试达到稳态下的阶跃输入。

情况 3：0 < δ < 1

我们可以修改传递函数的分母项如下 -

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 \right \}+\omega_n ^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$

传递函数变为，

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$ $

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )R(s )$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上述方程中。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )\left( \frac {1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}$ $

计算 $C(s)$ 的部分分数。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}=\frac{ A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

化简后，A、B、C 的值分别为 $1、\: -1 \: 和 \: −2\delta \omega _n$。将这些值代入上述 C(s) 的部分分数展开式中。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) }$$

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}- \frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2} )^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n) ^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} \right )$

将上式中的 $\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$ 替换为 $\omega_d$。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta} {\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right )$$

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{- \delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) \right )u(t)$$

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2 })\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) \right ) \right )u(t)$$

如果 $\sqrt{1-\delta^2}=\sin(\theta)$，则 'δ' 将是 cos(θ)。将这些值代入上面的方程中。

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin(\theta)\cos(\omega_dt) +\cos(\theta)\sin(\omega_dt)) \right )u(t)$$

$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+ \theta) \right )u(t)$$

因此，当“δ”位于 0 和 1 之间时，二阶系统的单位阶跃响应具有阻尼振荡（幅度减小）。

情况4：δ > 1

我们可以修改传递函数的分母项如下 -

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 \right \}+\omega_n ^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=\left ( s+\delta\omega_n \right )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 \right )$$

传递函数变为，

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$ $

$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} \right )R(s )$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上述方程中。

$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\ omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$

计算 $C(s)$ 的部分分数。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta ^2-1})}$$

$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\ omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$

化简后，A、B、C的值为1，$\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1} )}$ 和 $\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$ 分别。将这些值代入 $C(s)$ 的上述部分分数展开式中。

$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta ^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \右）$$

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1} )(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )u(t)$

由于过阻尼，当δ>1时二阶系统的单位阶跃响应永远不会达到稳态下的阶跃输入。

二阶系统的脉冲响应

使用这两种方法中的任何一种都可以得到二阶系统的脉冲响应。

• 通过将 $R(s)$ 的值视为 1 而不是 $\frac{1}{s}$，按照所涉及的过程推导阶跃响应。

• 对阶跃响应进行微分。

下表显示了 4 种阻尼比情况下二阶系统的脉冲响应。