控制系统 - 根轨迹

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在根轨迹图中，我们可以观察闭环极点的路径。因此，我们可以识别控制系统的性质。在这项技术中，我们将使用开环传递函数来了解闭环控制系统的稳定性。

根轨迹基础知识

根轨迹是通过将系统增益 K 从零变化到无穷大而得到的特征方程的根的轨迹。

我们知道，闭环控制系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

我们可以将 $G(s)H(s)$ 表示为

$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$

在哪里，

• K代表倍数

• N(s) 表示具有“s”的 n 阶多项式^（因式分解）的分子项。

• D(s) 表示具有“s”的 m 阶多项式^（因式分解）的分母项。

将 $G(s)H(s)$ 值代入特征方程中。

$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$\右箭头 D(s)+KN(s)=0$$

情况 1 − K = 0

如果$K=0$，则$D(s)=0$。

这意味着，当 K 为零时，闭环极点等于开环极点。

情况 2 − K = ∞

将上面的特征方程重写为

$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N( s)}{D(s)}=0$$

将 $K = \infty$ 代入上式中。

$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N( s)=0$$

如果$K=\infty$，则$N(s)=0$。这意味着当 K 无穷大时，闭环极点等于开环零点。

从以上两种情况，我们可以得出结论，根轨迹分支从开环极点开始，到开环零点结束。

角度条件和幅度条件

根轨迹分支上的点满足角度条件。因此，角度条件用于判断该点是否存在于根轨迹分支上。我们可以利用幅值条件求出根轨迹分支上的点的K值。因此，我们可以使用点的大小条件，并且这满足角度条件。

闭环控制系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$\右箭头 G(s)H(s)=-1+j0$$

$G(s)H(s)$ 的相位角为

$$\角度 G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$

角度条件是开环传递函数的角度为180 ⁰的奇数倍的点。

$G(s)H(s)$ 的大小为 -

$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

幅度条件是开环传递函数的幅度为1的点（满足角度条件）。