控制系统 - 补偿器

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补偿器分为三种类型：滞后补偿器、超前补偿器和滞后超前补偿器。这些是最常用的。

滞后补偿器

滞后补偿器是一个电气网络，当施加正弦输入时，它会产生具有相位滞后的正弦输出。's'域的滞后补偿器电路如下图所示。

此处，电容器与电阻器 $R_2$ 串联，并通过该组合测量输出。

该滞后补偿器的传递函数为 -

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{\alpha} \left( \frac{s+\frac{1}{\tau}}{s+\frac{1} {\alpha\tau}} \right )$$

在哪里，

$$\tau=R_2C$$

$$\alpha=\frac{R_1+R_2}{R_2}$$

从上式可知，$\alpha$ 始终大于 1。

从传递函数，我们可以得出结论，滞后补偿器在 $s = − \frac{1}{\alpha \tau}$ 处有一个极点，在 $s = −\frac{1}{\tau}$ 处有一个零。这意味着，在滞后补偿器的零极点配置中，极点将更接近原点。

将 $s = j\omega$ 代入传递函数中。

$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}=\frac{1}{\alpha}\left( \frac{j\omega+\frac{1}{\tau}}{ j\omega+\frac{1}{\alpha\tau}}\right )$$

相位角 $\phi = \tan^{−1} \omega\tau − tan^{−1} \alpha\omega\tau$

我们知道，输出正弦信号的相位等于输入正弦信号的相位角与传递函数之和。

因此，为了在该补偿器的输出端产生相位滞后，传递函数的相位角应为负。当 $\alpha > 1$ 时，就会发生这种情况。

超前补偿器

超前补偿器是一种电气网络，当施加正弦输入时，其产生具有相位超前的正弦输出。's'域的超前补偿器电路如下图所示。

此处，电容器与电阻器 $R_1$ 并联，并且通过电阻器 $R_2 测量输出。

该超前补偿器的传递函数为 -

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\beta \left( \frac{s\tau+1}{\beta s\tau+1} \right )$$

在哪里，

$$\tau=R_1C$$

$$\beta=\frac{R_2}{R_1+R_2}$$

从传递函数中，我们可以得出结论，超前补偿器在 $s = −\frac{1}{\beta}$ 处具有极点，在 $s = − \frac{1}{\beta\tau}$ 处具有零。

将 $s = j\omega$ 代入传递函数中。

$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}=\beta \left( \frac{j\omega\tau+1}{\beta j \omega\tau+1} \right )$$

相位角 $\phi = tan^{−1}\omega\tau − tan^{−1}\beta\omega\tau$

我们知道，输出正弦信号的相位等于输入正弦信号的相位角与传递函数之和。

因此，为了在该补偿器的输出端产生相位超前，传递函数的相位角应为正。当 $0 < \beta < 1$ 时，就会发生这种情况。因此，在超前补偿器的零极点配置中，零将更接近原点。

滞后超前补偿器

滞后-超前补偿器是一种在一个频率区域产生相位滞后而在其他频率区域产生相位超前的电气网络。它是滞后补偿器和超前补偿器的组合。's'域的滞后-超前补偿器电路如下图所示。

该电路看起来两个补偿器都是级联的。因此，该电路的传递函数将是超前补偿器和滞后补偿器的传递函数的乘积。

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\beta \left( \frac{s\tau_1+1}{\beta s \tau_1+1} \right )\frac{1}{\ α} \left ( \frac{s+\frac{1}{\tau_2}}{s+\frac{1}{\alpha\tau_2}} \right )$$

我们知道$\alpha\beta=1$。

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\left ( \frac{s+\frac{1}{\tau_1}}{s+\frac{1}{\beta\tau_1}} \right )\left ( \frac{s+\frac{1}{\tau_2}}{s+\frac{1}{\alpha\tau_2}} \right )$$

在哪里，

$$\tau_1=R_1C_1$$

$$\tau_2=R_2C_2$$