网络理论 - Delta 到 Star 的转换
在上一章中，我们讨论了与等效电阻相关的示例问题。在那里，我们很容易计算出给定电网的端子 A 和 B 之间的等效电阻。因为，在每一步中，我们都得到了以串联形式或并联形式连接的电阻器的组合。
然而，在某些情况下，按照以前的方法很难简化网络。例如，电阻器以三角形 (δ) 形式或星形形式连接。在这种情况下，我们必须将一种形式的网络转换为另一种形式，通过串联或并联的方式进一步简化。在本章中，我们将讨论Delta 到 Star 的转换。
台达网络
考虑以下Delta 网络，如下图所示。
下式表示当第三个端子保持开路时，三角形网络两个端子之间的等效电阻。
$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$
$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$
$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$
星网
下图所示为上述三角形网络对应的等效星形网络。
下式表示当第三个端子保持开路时，星形网络两个端子之间的等效电阻。
$$R_{AB} = R_A + R_B$$
$$R_{BC} = R_B + R_C$$
$$R_{CA} = R_C + R_A$$
星形网络电阻与三角形网络电阻的关系
通过使上述方程的右侧项与左侧项相同，我们将得到以下方程。
$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 1
$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 2
$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 3
将以上三个方程相加，我们可以得到
$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$
$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 4
从公式 4 中减去公式 2。
$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3} $
$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$
通过从方程 4 中减去方程 3，我们将得到
$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$
通过从等式 4 中减去等式 1，我们将得到
$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$
利用上述关系式，我们可以从三角形网络的电阻中求出星形网络的电阻。这样，我们就可以将三角形网络转变为星形网络。
例子
让我们计算一下星形网络的电阻，它与三角形网络的电阻等效，如下图所示。
假设Delta 网络的电阻为R 1 = 10 Ω、R 2 = 60 Ω 和R 3 = 30 Ω。
我们知道星形网络的电阻与三角形网络的电阻有以下关系。
$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$
$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$
$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$
将R 1、R 2和R 3的值代入上述方程中。
$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$
$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$
$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$
因此，我们得到星形网络的电阻为R A = 6 Ω、R B = 18 Ω和R C = 3 Ω，这相当于给定的三角形网络的电阻。