网络理论 - 交流电路的响应
在上一章中，我们讨论了直流电路的瞬态响应和稳态响应。在本章中，我们将讨论交流电路的响应。我们在前一章讨论的瞬态响应和稳态响应的概念在这里也很有用。
寻找串联 RL 电路的响应
考虑以下串联 RL 电路图。
在上述电路中，开关在t = 0之前保持打开状态，并在t = 0时关闭。因此，直到此时，具有V m伏峰值电压的AC电压源还没有连接到串联RL电路。因此，没有初始电流流过电感器。
开关处于闭合位置时的电路图如下图所示。
现在，由于峰值电压为V m伏的AC电压源连接至串联RL电路，因此电流i(t)在整个电路中流动。
我们知道流过上述电路的电流i(t)有两项，一项代表瞬态部分，另一项代表稳态。
在数学上，它可以表示为
$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$方程 1
在哪里，
$i_{Tr}(t)$ 是流过电路的电流的瞬态响应。
$i_{ss}(t)$ 是流过电路的电流的稳态响应。
在上一章中，我们得到了流经串联 RL 电路的电流的瞬态响应。它的形式为$Ke^{-\lgroup\frac{t}{\tau}\rgroup}$。
将 $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ 代入方程 1 中。
$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$方程 2
稳态电流的计算
如果将正弦信号用作线性电路的输入，则它会产生稳态输出，该输出也是正弦信号。输入和输出正弦信号将具有相同的频率，但幅度和相位角不同。
我们可以使用拉普拉斯变换方法计算电路被正弦电压源激励时的稳态响应。
开关处于闭合位置时的S域电路图如下图所示。
在上面的电路中，所有的量和参数都在s 域中表示。这些是时域量和参数的拉普拉斯变换。
上述电路的传递函数为
$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$
将 $s = j \omega$ 代入上式中。
$$H(j omega) = frac{1}{R + j omega L}$$
$\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$的大小为
$$|H(j Ω)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$
$\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$的相位角为
$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$
我们将通过执行以下两个步骤获得稳态电流$i_{ss}(t)$ -
将输入正弦电压的峰值电压与 $H(j omega)$ 的幅度相乘。
将输入正弦电压的相位角与 $H(j omega)$ 相加。
稳态电流$i_{ss}(t)$ 将为
$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$
将 $i_{ss}(t)$ 的值代入公式 2 中。
$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$ 方程3
我们知道电路中没有初始电流。因此，将t = 0 & i(t) = 0代入方程 3 即可找到常数 K 的值。
$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \欧米伽 (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$
$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\欧米茄 L}{R}\rgroup \rgroup$$
$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$
将K值代入公式 3 中。
$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2 }} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$ 方程4
公式 4 表示当串联 RL 电路受到正弦电压源激励时流经串联 RL 电路的电流。它有两个术语。第一项和第二项分别表示电流的瞬态响应和稳态响应。
我们可以忽略方程 4 的第一项，因为它的值将远小于 1。因此，流过电路的电流将为
$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \压裂 {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$
它仅包含稳态项。因此，我们只能找到交流电路的稳态响应，而忽略它的瞬态响应。