网络理论-串联谐振
由于电感器和电容器等储能元件的存在，电路中会发生谐振。这是无线电和电视接收器设计的基本概念，使得它们应该能够仅选择所需的电台频率。
谐振有两种类型，即串联谐振和并联谐振。这些是根据串联或并联连接的网络元件进行分类的。在本章中，我们来讨论串联谐振。
串联谐振电路图
如果串联RLC电路中发生谐振，则称为串联谐振。考虑以下串联 RLC 电路，它在相量域中表示。
这里，电阻器、电感器和电容器等无源元件串联连接。整个组合与输入正弦电压源串联。
在环路周围应用KVL 。
$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$
$$\右箭头 V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$
$$\右箭头 V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$
$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$方程 1
上式的形式为V=IZ。
因此，串联RLC电路的阻抗Z为
$$Z = R + j(X_L - X_C)$$
谐振参数和电量
现在，我们来一一推导串联RLC电路谐振时的参数值和电量。
共振频率
发生谐振的频率称为谐振频率fr。在串联RLC电路中，当阻抗Z的虚数项为零时，即$X_L - X_C$的值应等于0时，就会发生谐振。
$$\右箭头 X_L = X_C$$
将 $X_L = 2 \pi f L$ 和 $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ 代入上式中。
$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$
$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 LC}$$
$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$
因此，串联RLC电路的谐振频率fr为
$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$
其中，L是电感器的电感，C是电容器的电容。
串联RLC电路的谐振频率fr仅取决于电感L和电容C。但是，它与电阻R无关。
阻抗
我们得到串联 RLC 电路的阻抗 Z为
$$Z = R + j(X_L - X_C)$$
将 $X_L = X_C$ 代入上式中。
$$Z = R + j(X_C - X_C)$$
$$\右箭头 Z = R + j(0)$$
$$\右箭头 Z = R$$
谐振时，串联RLC电路的阻抗Z等于电阻R的值，即Z=R。
流过电路的电流
将 $X_L - X_C = 0$ 代入公式 1。
$$V = I[R + j(0)]$$
$$\右箭头 V = IR$$
$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$
因此，谐振时流过串联 RLC 电路的电流为 $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$。
谐振时，串联RLC电路的阻抗达到最小值。因此，谐振时流经该电路的电流最大。
电阻两端电压
电阻两端的电压为
$$V_R = IR$$
将I的值代入上式中。
$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$
$$\右箭头 V_R = V$$
因此，谐振时电阻两端的电压为VR = V。
电感两端电压
电感两端的电压为
$$V_L = I(jX_L)$$
将I的值代入上式中。
$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$
$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$
$$\右箭头 V_L = j QV$$
因此，谐振时电感两端的电压为 $V_L = j QV$。
因此，谐振时电感器两端的电压大小为
$$|V_L| =QV$$
其中Q是品质因数，其值等于 $\frac{X_L}{R}$
电容器两端电压
电容器两端的电压为
$$V_C = I(-j X_C)$$
将I的值代入上式中。
$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$
$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$
$$\右箭头 V_C = -jQV$$
因此，谐振时电容器两端的电压为 $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$。
因此，谐振时电容器两端的电压大小为
$$|V_C| =QV$$
其中Q是品质因数，其值等于 $\frac{X_{C}}{R}$
注- 串联谐振 RLC 电路称为电压放大电路，因为电感器和电容器两端的电压大小等于输入正弦电压V的Q倍。