网络理论 - 快速指南

---

网络理论 - 概述

网络理论是解决电路或电网问题的研究。在这一介绍性章节中，我们首先讨论电路的基本术语和网络元件的类型。

基本术语

在网络理论中，我们经常会遇到以下术语 -

• 电路
• 电力网络
• 当前的
• 电压
• 力量

因此，在继续下一步之前，我们有必要收集一些有关这些术语的基本知识。让我们从电路开始。

电路

电路包含用于提供来自电压源或电流源的电子流的闭合路径。电路中存在的元件将串联、并联或串联和并联的任意组合。

电力网络

电网不需要包含用于提供来自电压源或电流源的电子流的闭合路径。因此，我们可以得出“所有电路都是电网”的结论，但反之则不一定成立。

当前的

流过导体的电流“I”只不过是电荷流动的时间速率。从数学上来说，它可以写成

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

在哪里，

• Q是电荷，单位是库伦。

• t为时间，单位为秒。

打个比方，电流可以被认为是水流过管道。电流以安培为单位进行测量。

一般来说，电子电流从源的负极端子流向正极端子，而传统电流从源的正极端子流向负极端子。

电子电流是由于自由电子的运动而获得的，而常规电流是由于自由正电荷的运动而获得的。这两者都称为电流。

电压

电压“V”只不过是导致电荷（电子）流动的电动势。从数学上来说，它可以写成

$$V = \frac{dW}{dQ}$$

在哪里，

• W是势能，单位是焦耳。

• Q是电荷，单位是库伦。

打个比方，电压可以被认为是导致水流过管道的水压。它以伏特为单位进行测量。

力量

功率“P”只不过是电能流动的时间速率。从数学上来说，它可以写成

$$P = \frac{dW}{dt}$$

在哪里，

• W是电能，以焦耳为单位进行测量。

• t是时间，以秒为单位。

我们可以重写上面的等式a

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} \times \frac{dQ}{dt} = VI$$

因此，功率只不过是电压V和电流I的乘积。它的单位是瓦特。

网络元素的类型

我们可以根据一些参数将网络元素分为各种类型。以下是网络元素的类型 -

• 有源元件和无源元件

• 线性元件和非线性元件

• 双边要素和单边要素

有源元件和无源元件

我们可以根据供电能力将网络元件分为有源或无源。

• 有源元件将电力传输到电路中存在的其他元件。有时，它们可能像无源元件一样吸收能量。这意味着活性元件具有传递和吸收能量的能力。示例：电压源和电流源。

• 被动元素不能向其他元素传递能量（能量），但它们可以吸收能量。这意味着这些元件要么以热的形式耗散功率，要么以磁场或电场的形式存储能量。示例：电阻器、电感器和电容器。

线性元件和非线性元件

我们可以根据网络元素的特性将其分为线性或非线性，以服从线性属性。

• 线性元件是显示电压和电流之间线性关系的元件。示例：电阻器、电感器和电容器。

• 非线性元件是指电压和电流之间不呈现线性关系的元件。示例：电压源和电流源。

双边要素和单边要素

根据电流流过网络元件的方向，网络元件也可以分为双边或单边。

双边元件是允许两个方向上的电流并在电流的任一方向上提供相同阻抗的元件。示例：电阻器、电感器和电容器。

双边要素的概念如下图所示。

在上图中，电流 (I) 从端子 A 流经阻抗为Z Ω 的无源元件。它是端子 A 和 B 之间该元件上的电压 (V) 与电流 (I) 的比率。

在上图中，电流 (I) 从端子 B 通过阻抗为Z Ω的无源元件流向 A。这意味着电流 (-I) 从端子 A 流向 B。在这种情况下，我们也会得到相同的阻抗值，因为电流和电压相对于端子 A 和 B 都具有负号。

单边元件是那些仅允许电流沿一个方向流动的元件。因此，它们在两个方向上提供不同的阻抗。

网络理论 - 示例问题

我们在前一章中讨论了网络元素的类型。现在，让我们从以下示例中给出的 VI 特征来识别网络元素的性质。

实施例1

网络元素的VI特征如下所示。

步骤 1 - 验证网络元件是线性还是非线性。

由上图可知，网元的VI特征是一条经过原点的直线。因此，它是一个线性元素。

步骤 2 - 验证网络元素是主动还是被动。

网络元件的给定 VI 特性位于第一和第三象限。

• 在第一象限中，电压 (V) 和电流 (I) 均为正值。因此，电压 (V) 和电流 (I) 的比率给出正阻抗值。

• 类似地，在第三象限中，电压（V）和电流（I）的值均为负值。因此，电压 (V) 和电流 (I) 的比率产生正阻抗值。

由于给定的 VI 特性提供正阻抗值，因此网络元件是无源元件。

步骤 3 - 验证网络元素是双边还是单边。

对于特征上的每个点（I，V），给定特征上都存在对应的点（-I，-V）。因此，该网络元素是双边元素。

因此，给定的 VI 特性表明网络元件是线性、无源和双边元件。

实施例2

网络元素的VI特征如下所示。

步骤 1 - 验证网络元件是线性还是非线性。

从上图可以看出，网络元件的VI特性仅在点(-3A，-3V)和(5A，5V)之间是一条直线。除了这些点之外，VI 特性不遵循线性关系。因此，它是一个非线性元件。

步骤 2 - 验证网络元素是主动还是被动。

网络元件的给定 VI 特性位于第一和第三象限。在这两个象限中，电压 (V) 和电流 (I) 的比率产生正阻抗值。因此，网络元件是无源元件。

步骤 3 - 验证网络元素是双边还是单边。

考虑特性上的点（5A、5V）。给定特性上存在对应点（-5A，-3V），而不是（-5A，-5V）。因此，该网络元素是单边元素。

因此，给定的VI特性表明该网络元件是一个非线性、无源和单边元件。

网络理论-主动元素

有源元件是向电路中存在的其他元件输送电力的网络元件。因此，有源元件也称为电压型源或电流型源。我们可以将这些来源分为以下两类 -

• 独立来源
• 相关来源

独立来源

顾名思义，独立源产生固定值的电压或电流，并且这些值不依赖于任何其他参数。独立来源可以进一步分为以下两类 -

• 独立电压源
• 独立电流源

独立电压源

独立电压源在其两个端子上产生恒定电压。该电压与流过电压源两端的电流量无关。

独立理想电压源及其VI特性如下图所示。

独立理想电压源的VI特性是一条恒定线，无论电流值(I)如何，它始终等于源电压(VS)。因此，独立理想电压源的内阻为零欧姆。

因此，独立的理想电压源实际上并不存在，因为会有一些内阻。

独立实用电压源及其VI特性如下图所示。

独立的实际电压源的VI特性与独立的理想电压源的VI特性存在偏差。这是由于独立实际电压源的内阻 (R _{S ) 上的电压降造成的。}

独立电流源

独立的电流源产生恒定电流。该电流与其两端的电压无关。独立理想电流源及其VI特性如下图所示。

独立理想电流源的VI特性是一条恒定线，无论电压值(V)如何，它始终等于源电流(I _{S )。}因此，独立理想电流源的内阻为无限欧姆。

因此，独立的理想电流源实际上并不存在，因为会有一些内阻。

独立实用电流源及其VI特性如下图所示。

独立的实际电流源的VI特性与独立的理想电流源的VI特性存在偏差。这是由于流经独立实用电流源的内部分流电阻 (R _S )的电流量所致。

相关来源

顾名思义，相关源产生依赖于其他电压或电流的电压或电流量。相关源也称为受控源。依赖源可以进一步分为以下两类 -

• 相关电压源
• 相关电流源

相关电压源

相关电压源在其两个端子上产生电压。该电压的大小取决于其他一些电压或电流。因此，相关电压源可以进一步分为以下两类 -

• 电压相关电压源 (VDVS)
• 电流相关电压源 (CDVS)

相关电压源用菱形内的符号“+”和“-”表示。电压源的大小可以在菱形外部表示。

相关电流源

相关电流源产生电流。该电流的大小取决于其他一些电压或电流。因此，相关电流源可以进一步分为以下两类 -

• 电压相关电流源 (VDCS)
• 电流相关电流源 (CDCS)

相关电流源用菱形内的箭头表示。电流源的大小可以在菱形外部表示。

我们可以在晶体管的等效模型中观察这些相关或受控源。

源转换技术

我们知道，实际的源有两种，即电压源和电流源。我们可以根据需求将一种源转换（转换）为另一种源，同时解决网络问题。

将一种源转换为另一种源的技术称为源转换技术。以下是两种可能的源转换 -

• 实用电压源转化为实用电流源
• 实用电流源转化为实用电压源

实用电压源转化为实用电流源

实用电压源转化为实用电流源如下图所示

实际电压源由电压源 (V _{S ) 与电阻器 (R S} )串联组成。这可以转换成如图所示的实用电流源。_{它由与电阻器 (R S} )并联的电流源 (I _S ) 组成。

IS 的值将等于 V _S和 R _S的比率。在数学上，它可以表示为

$$I_S = \frac{V_S}{R_S}$$

实用电流源转化为实用电压源

实用电流源转化为实用电压源如下图所示。

实际的电流源由电流源 (I _{S ) 与电阻器 (R S} )并联组成。这可以转换成如图所示的实用电压源。它由一个电压源 (V _{S ) 与一个电阻器 (R S} )串联组成。

_{V S}的值将等于 I _S和 R _S的乘积。在数学上，它可以表示为

$$V_S = I_S R_S$$

网络理论-被动元件

在本章中，我们将详细讨论电阻、电感和电容等无源元件。让我们从电阻器开始。

电阻器

电阻器的主要功能是阻止或限制电流的流动。因此，使用电阻器是为了限制电流量和/或分压（共享）电压。

设流过电阻器的电流为 I 安培，电阻器两端的电压为 V 伏特。电阻器的符号以及电流 I 和电压 V 如下图所示。

根据欧姆定律，电阻器两端的电压是流过电阻器的电流与该电阻器的电阻的乘积。在数学上，它可以表示为

$V = IR$ 公式 1

$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$方程 2

其中，R为电阻器的阻值。

从公式 2 中，我们可以得出结论，流过电阻器的电流与电阻器两端施加的电压成正比，与电阻器的电阻成反比。

电路元件中的功率可以表示为

$P = VI$方程 3

将公式 1 代入公式 3。

$P = (IR)I$

$\Rightarrow P = I^2 R$方程 4

将公式 2 代入公式 3。

$P = V \lgroup \frac{V}{R} \rgroup$

$\Rightarrow P = \frac{V^2}{R}$方程 5

因此，我们可以使用公式 3 至 5 中提到的公式之一来计算电阻器中消耗的功率。

电感器

一般来说，电感器会有匝数。因此，当电流流过它们时，它们会产生磁通量。因此，电感器产生的总磁通量取决于流过它的电流I，并且它们具有线性关系。

从数学上来说，它可以写成

$$\Psi \: \alpha \: I$$

$$\右箭头\Psi = LI$$

在哪里，

• Ψ是总磁通量

• L是电感器的电感

设流过电感器的电流为I安培，流过电感器的电压为V伏特。电感器的符号以及电流I和电压V如下图所示。

根据法拉第定律，电感两端的电压可写为

$$V = \frac{d\Psi}{dt}$$

将Ψ = LI代入上式中。

$$V = \frac{d(LI)}{dt}$$

$$\Rightarrow V = L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow I = \frac{1}{L} \int V dt$$

从上面的方程我们可以得出结论，电感两端的电压和流过电感的电流之间存在线性关系。

我们知道电路元件中的功率可以表示为

$$P = VI$$

将 $V = L \frac{dI}{dt}$ 代入上式中。

$$P = \lgroup L \frac{dI}{dt}\rgroup I$$

$$\右箭头 P = LI \frac{dI}{dt}$$

通过对上面的方程进行积分，我们将得到存储在电感器中的能量：

$$W = \frac{1}{2} LI^2$$

因此，电感器以磁场的形式存储能量。

电容器

一般来说，电容器有两个导电板，由介电介质隔开。如果在电容器上施加正电压，则电容器会存储正电荷。同样，如果在电容器上施加负电压，则电容器会存储负电荷。

因此，电容器中存储的电荷量取决于其两端施加的电压V，并且它们呈线性关系。从数学上来说，它可以写成

$$Q \: \alpha \: V$$

$$\右箭头 Q = CV$$

在哪里，

• Q是电容器中存储的电荷。

• C是电容器的电容。

设流过电容器的电流为I安培，电容器两端的电压为V伏特。电容器的符号以及电流I和电压V如下图所示。

我们知道，电流只不过是电荷流动的时间速率。在数学上，它可以表示为

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

将 $Q = CV$ 代入上式中。

$$I = \frac{d(CV)}{dt}$$

$$\Rightarrow I = C \frac{dV}{dt}$$

$$\Rightarrow V = \frac{1}{C} \int I dt$$

从上面的方程，我们可以得出结论，电容器两端的电压和流过电容器的电流之间存在线性关系。

我们知道电路元件中的功率可以表示为

$$P = VI$$

将 $I = C \frac{dV}{dt}$ 代入上式中。

$$P = V \lgroup C \frac{dV}{dt} \rgroup$$

$$\Rightarrow P = CV \frac{dV}{dt}$$

通过对上面的方程进行积分，我们将得到电容器中存储的能量为

$$W = \frac{1}{2}CV^2$$

因此，电容器以电场的形式存储能量。

网络理论 - 基尔霍夫定律

网络元件可以是有源或无源类型。任何电路或网络都包含这两种类型的网络元件之一或两者的组合。

现在，让我们讨论以下两个定律，即俗称的基尔霍夫定律。

• 基尔霍夫电流定律
• 基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律 (KCL) 指出离开（或进入）节点的电流的代数和等于零。

节点是两个或多个电路元件连接到的点。如果只有两个电路元件连接到一个节点，则称其为简单节点。如果三个或更多电路元件连接到一个节点，则该节点称为主节点。

在数学上，KCL可以表示为

$$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^M I_m = 0$$

在哪里，

• I _m是离开节点的^{第m 支路电流。}

• M是连接到节点的分支数。

上述KCL的表述也可以表示为“进入节点的电流的代数和等于离开节点的电流的代数和”。我们通过下面的例子来验证一下这个说法。

例子

在下图的节点P处写出KCL方程。

• 在上图中，支路电流 I ₁、I ₂和 I ₃从节点 P进入。因此，请考虑这三个电流的负号。

• 在上图中，支路电流 I ₄和 I ₅从节点 P流出。因此，请考虑这两个电流的正号。

节点 P 处的KCL方程为

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\右箭头 I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

在上式中，左侧表示进入电流之和，右侧表示离开电流之和。

在本教程中，当电流离开节点时我们将考虑正号，当电流进入节点时我们将考虑负号。同样，当电流离开节点时可以考虑负号，当电流进入节点时可以考虑正号。在这两种情况下，结果都是相同的。

注- KCL 独立于连接到节点的网络元素的性质。

基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律 (KVL) 指出，环路或网格周围的电压代数和为零。

循环是一条终止于起始节点的路径。相反，网格是一个内部不包含任何其他循环的循环。

在数学上，KVL 可以表示为

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

在哪里，

• V _n是环路（网格）中第 n^{个元件的电压。}

• N是环路（网状）中网络元件的数量。

上述KVL的表述也可以表示为“电压源的代数和等于回路中存在的电压降的代数和”。让我们借助以下示例来验证这一说法。

例子

围绕下列电路的环路写出KVL 方程。

上述电路图由电压源 V _{S与两个电阻器 R 1}和 R ₂串联组成。_{电阻器R 1}和R ₂两端的电压降分别为V ₁和V ₂。

在环路周围应用KVL 。

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\右箭头 V_S = V_1 + V_2$$

在上式中，左侧项表示单个电压源VS。而右侧代表电压降的总和。在此示例中，我们仅考虑一个电压源。这就是为什么左侧只包含一项的原因。如果我们考虑多个电压源，则左侧包含电压源的总和。

在本教程中，我们将每个元件电压的符号视为绕环路行进时出现的第二个端子的极性。同样，您可以将每个电压的符号视为绕环路行进时出现的第一个端子的极性。在这两种情况下，结果都是相同的。

注- KVL 与环路中存在的网络元素的性质无关。

电量划分原则

本章我们来讨论以下两个电量的划分原则。

• 电流划分原则
• 分压原理

电流划分原则

当两个或多个无源元件并联时，流经每个元件的电流量会从进入节点的电流中分配（共享）。

考虑以下电路图。

上面的电路图由一个输入电流源I _S与两个电阻R ₁和R ₂并联组成。每个元件两端的电压为V _S。流经电阻R ₁和R ₂的电流分别为I ₁和I ₂。

节点P处的KCL方程为

$$I_S = I_1 + I_2$$

• 将 $I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ 和 $I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ 代入上式中。

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1}{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• 将V _S的值代入$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ 中。

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• 将V _S的值代入$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ 中。

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

从I ₁和I ₂等式中，我们可以归纳出流过任何无源元件的电流可以通过以下公式求得。

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

这称为分流原理，适用于两个或多个无源元件并联且只有一个电流进入节点的情况。

在哪里，

• I _N^是流经第N支路无源元件的电流。

• I _S是进入节点的输入电流。

• Z ₁、Z ₂、…、Z _N^{分别为第1}支路、第2^支路、…、第N^支路的阻抗。

分压原理

当两个或多个无源元件串联时，每个元件上存在的电压量会从整个组合上可用的电压中划分（共享）。

考虑以下电路图。

上述电路图由电压源 V _{S与两个电阻器 R 1}和 R ₂串联组成。流经这些元件的电流为 I _S。_{电阻器R 1}和R ₂两端的电压降分别为V ₁和V ₂。

环路的KVL 方程为

$$V_S = V_1 + V_2$$

• 将V ₁ = I _S R ₁和V ₂ = I _S R ₂代入上式中

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

• 将I _S的值代入V ₁ = I _S R ₁中。

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• 将I _S的值代入V ₂ = I _S R ₂。

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

从V ₁和V ₂的方程中，我们可以概括出任何无源元件上的电压都可以通过使用以下公式求出。

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

这称为分压原理，适用于两个或多个无源元件串联连接并且整个组合中只有一个电压可用的情况。

在哪里，

• V _N^{是第 N个}无源元件两端的电压。

• V _S是输入电压，存在于串联无源元件的整个组合上。

• Z ₁、Z ₂、…、Z ₃^{分别为第1个}无源元件、第2^个无源元件、…、第N^个无源元件的阻抗。

网络理论-节点分析

有两种基本方法可用于求解任何电力网络：节点分析和网格分析。在本章中，我们将讨论节点分析方法。

在节点分析中，我们将考虑相对于地的节点电压。因此，节点分析也称为节点电压法。

节点分析程序

使用节点分析求解任何电气网络或电路时，请按照以下步骤操作。

• 步骤 1 - 识别主要节点并选择其中之一作为参考节点。我们将该参考节点视为地面。

• 步骤 2 - 标记除参考节点之外的所有主节点相对于地的节点电压。

• 步骤 3 -在除参考节点之外的所有主节点处编写节点方程。先应用KCL，再应用欧姆定律得到节点方程。

• 步骤 4 - 求解步骤 3 中获得的节点方程以获得节点电压。

现在，我们可以使用节点电压找到给定网络中存在的流过任何元件的电流和跨过任何元件的电压。

例子

使用节点分析求出流过以下电路的 20 Ω 电阻的电流。

步骤 1 -上述电路中有三个主要节点。这些在下图中标记为 1、2 和 3。

在上图中，将节点 3视为参考节点（接地）。

步骤 2 - 节点电压 V ₁和 V ₂如下图所示。

上图中，V ₁是节点1相对于地的电压，V ₂是节点2相对于地的电压。

步骤 3 - 在这种情况下，我们将得到两个节点方程，因为除了地面之外还有两个主节点 1 和 2。当我们在节点处编写节点方程时，假设所有电流都从未提及电流方向的节点流出，并且该节点的电压大于电路中的其他节点电压。

节点 1 处的节点方程为

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\右箭头 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\右箭头 V_2 = 4V_1 - 40$方程 1

节点 2 处的节点方程为

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$方程 2

步骤 4 -通过求解公式 1 和公式 2找到节点电压V ₁和V _{2 。}

将公式 1 代入公式 2。

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\右箭头 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\右箭头 10 V_1 = 200$$

$$\右箭头 V_1 = 20V$$

将V ₁ = 20 V 代入公式 1。

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\右箭头 V_2 = 40V$$

因此，我们得到节点电压V ₁和V ₂分别为20 V和40 V。

步骤5 - 20 Ω 电阻两端的电压只是节点电压V ₂，它等于40 V。现在，我们可以利用欧姆定律找到流过20 Ω 电阻的电流。

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

将V ₂和R的值代入上式中。

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\右箭头 I_{20 \Omega} = 2A$$

因此，流经给定电路20Ω电阻的电流为2A。

注意- 从上面的例子中，我们可以得出结论，如果电路有“n”个主节点（参考节点除外），我们必须求解“n”个节点方程。因此，当主节点数（参考节点除外）小于任意电路的网格数时，可以选择节点分析。

网络理论-网状分析

在网格分析中，我们将考虑流经每个网格的电流。因此，网格分析也称为网格电流法。

分支是连接两个节点的路径，它包含一个电路元件。如果一个分支只属于一个网格，则分支电流将等于网格电流。

如果两个网格共用一个分支，则当两个网格电流方向相同（或相反）时，分支电流将等于两个网格电流的总和（或差）。

网格分析程序

使用网格分析求解任何电气网络或电路时，请按照以下步骤操作。

• 步骤 1 - 识别网格并以顺时针或逆时针方向标记网格电流。

• 步骤 2 - 观察流经每个元件的电流量（以网格电流表示）。

• 步骤 3 - 将网格方程写入所有网格。先应用KVL，再应用欧姆定律得到网格方程。

• 步骤 4 - 求解步骤 3 中获得的网格方程以获得网格电流。

现在，我们可以使用网格电流找到流经任何元件的电流以及给定网络中存在的任何元件的电压。

例子

使用网格分析查找 30 Ω 电阻两端的电压。

步骤 1 - 上述电路中有两个网格。网格电流I ₁和I ₂被认为是顺时针方向。这些网格电流如下图所示。

步骤 2 - 网格电流 I ₁流过 20 V 电压源和 5 Ω 电阻。类似地，网格电流I ₂流经30Ω电阻和-80V电压源。_{但是，两个网格电流 I 1}和 I ₂的差流过 10 Ω 电阻，因为它是两个网格的公共分支。

步骤 3 - 在这种情况下，我们将得到两个网格方程，因为给定电路中有两个网格。当我们编写网格方程时，假设该特定网格的网格电流大于电路的所有其他网格电流。

第一个网格的网格方程为

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\右箭头 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\右箭头 10I_2 = 15I_1 - 20$$

将上式除以 5。

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

将上式乘以 2。

$4I_2 = 6I_1 - 8$ 公式 1

第二次网格的网格方程为

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

将上式除以 10。

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\右箭头 -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ 方程 2

步骤 4 -通过求解方程 1 和方程 2找到网格电流I ₁和I _{2 。}

等式 1 和等式 2 的左侧项相同。因此，等式 1 和等式 2 的右侧项相等，以便找到I ₁的值。

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\右箭头 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

将I ₁值代入公式 2。

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

因此，我们得到网格电流I ₁和I ₂分别为 $\mathbf{\frac{16}{5}}$ A和 $\mathbf{\frac{14}{5}}$ A。

步骤 5 - 流过 30 Ω 电阻的电流只是网状电流I ₂，它等于 $\frac{14}{5}$ A。现在，我们可以使用欧姆定律找到 30 Ω 电阻两端的电压。

$$V_{30 \欧米茄} = I_2 R$$

将I ₂和R的值代入上式中。

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\右箭头 V_{30\Omega} = 84V$$

因此，给定电路的 30 Ω 电阻两端的电压为84 V。

注 1 - 从上面的例子中，我们可以得出结论，如果电路有“m”个网格，我们必须求解“m”个网格方程。这就是为什么当网格数量小于任何电路的主节点（参考节点除外）数量时，我们可以选择网格分析。

注 2 - 当网格数量等于任何电路中主节点（参考节点除外）的数量时，我们可以选择节点分析或网格分析。

网络理论 - 等效电路

如果一个电路由两个或多个相似的无源元件组成，并且仅以串联或并联方式连接，那么我们可以用单个等效无源元件代替它们。因此，该电路称为等效电路。

在本章中，我们讨论以下两个等效电路。

• 串联等效电路
• 并联等效电路

串联等效电路

如果类似的无源元件串联，则相同的电流将流过所有这些元件。但是，电压会在每个元件上分压。

考虑以下电路图。

它具有单个电压源(V _S )和三个阻值为R ₁、R ₂和R ₃的电阻器。所有这些元件都是串联连接的。电流 IS 流经所有这些元件。

上述电路只有一个网格。该网格周围的KVL方程为

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

将 $V_1 = I_S R_1、\: V_2 = I_S R_2$ 和 $V_3 = I_S R_3$ 代入上式中。

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\右箭头 V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

上述方程的形式为 $V_S = I_S R_{Eq}$ 其中，

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

给定电路的等效电路图如下图所示。

这意味着，如果多个电阻串联，那么我们可以用等效电阻代替它们。该等效电阻器的电阻等于所有这些多个电阻器的电阻之和。

注 1 - 如果串联连接具有 L ₁、 L ₂、...、L _N电感的“N”个电感器，则等效电感将为

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

注 2 - 如果串联连接具有电容 C ₁、C ₂、...、C _N的“N”个电容器，则等效电容将为

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

并联等效电路

如果类似的无源元件并联，则每个元件上将保持相同的电压。但是，流过每个元件的电流被分开。

考虑以下电路图。

它具有单个电流源(I _S )和三个电阻器，电阻值分别为R ₁、R ₂和R ₃。所有这些元件都是并联连接的。所有这些元件均可获得电压 (V _{S )。}

上述电路除接地节点外只有一个主节点（P）。该主节点 (P) 处的KCL 方程为

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

将 $I_1 = \frac{V_S}{R_1}、\: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ 和 $I_3 = \frac{V_S}{R_3}$ 代入上式中。

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ] $$

上述方程的形式为V _S = I _S R _Eq其中，

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

给定电路的等效电路图如下图所示。

这意味着，如果多个电阻并联，那么我们可以用等效电阻替换它们。该等效电阻的阻值等于所有这些多个电阻的每个阻值的倒数之和的倒数。

注 1 - 如果具有 L ₁、 L ₂、...、L _N电感的“N”个电感器并联，则等效电感为

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

注 2 - 如果具有电容 C ₁、C ₂、...、C _N的“N”个电容器并联连接，则等效电容将为

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

等效电路示例问题

在前面的章节中，我们分别讨论了串联组合和并联组合的等效电路。在本章中，让我们通过考虑类似无源元件的串联和并联组合来解决示例问题。

例子

让我们找到以下电网的端子 A 和 B 之间的等效电阻。

通过将上述网络最小化为两个端子之间的单个电阻器，我们将获得端子 A 和 B 之间的等效电阻。为此，我们必须确定串联形式和并联形式连接的电阻器的组合，然后在每一步中找到相应形式的等效电阻。

将给定的电网修改为如下形式，如下图所示。

上图中，字母C至G用于标记各种端子。

步骤 1 - 在上述网络中，两个6 Ω 电阻并联。因此，D 和 E 之间的等效电阻将为 3 Ω。这可以通过进行以下简化来获得。

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

在上述网络中，电阻4Ω和8Ω串联。因此，F 和 G 之间的等效电阻将为 12 Ω。这可以通过进行以下简化来获得。

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \欧米茄$$

步骤 2 -步骤 1 之后的简化电网如下图所示。

在上述网络中，串联了两个3Ω电阻。因此，C 和 E 之间的等效电阻将为6 Ω。这可以通过进行以下简化来获得。

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \欧米茄$$

步骤 3 -步骤 2 之后的简化电网如下图所示。

在上述网络中，电阻6Ω和12Ω并联。因此，C 和 B 之间的等效电阻将为 4 Ω。这可以通过进行以下简化来获得。

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

步骤 4 -步骤 3 之后的简化电网如下图所示。

在上述网络中，电阻2 Ω和4 Ω串联在端子A 和 B 之间。因此，A 和 B 之间的等效电阻将为 6 Ω。这可以通过进行以下简化来获得。

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \欧米茄$$

因此，给定电网的端子 A 和 B 之间的等效电阻为6 Ω。

网络理论 - Delta 到 Star 的转换

在上一章中，我们讨论了与等效电阻相关的示例问题。在那里，我们很容易计算出给定电网的端子 A 和 B 之间的等效电阻。因为，在每一步中，我们都得到了以串联形式或并联形式连接的电阻器的组合。

然而，在某些情况下，按照以前的方法很难简化网络。例如，电阻器以三角形 (δ) 形式或星形形式连接。在这种情况下，我们必须将一种形式的网络转换为另一种形式，通过串联或并联的方式进一步简化。在本章中，我们将讨论Delta 到 Star 的转换。

台达网络

考虑以下Delta 网络，如下图所示。

下式表示当第三个端子保持开路时，三角形网络两个端子之间的等效电阻。

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

星网

下图所示为上述三角形网络对应的等效星形网络。

下式表示当第三个端子保持开路时，星形网络两个端子之间的等效电阻。

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

星形网络电阻与三角形网络电阻的关系

通过使上述方程的右侧项与左侧项相同，我们将得到以下方程。

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 3

将以上三个方程相加，我们可以得到

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 4

从公式 4 中减去公式 2。

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3} $

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过从方程 4 中减去方程 3，我们将得到

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过从等式 4 中减去等式 1，我们将得到

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

利用上述关系式，我们可以从三角形网络的电阻中求出星形网络的电阻。这样，我们就可以将三角形网络转变为星形网络。

例子

让我们计算一下星形网络的电阻，它与三角形网络的电阻等效，如下图所示。

假设Delta 网络的电阻为R ₁ = 10 Ω、R ₂ = 60 Ω 和R ₃ = 30 Ω。

我们知道星形网络的电阻与三角形网络的电阻有以下关系。

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

将R ₁、R ₂和R ₃的值代入上述方程中。

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

因此，我们得到星形网络的电阻为R _A = 6 Ω、R _B = 18 Ω和R _C = 3 Ω，这相当于给定的三角形网络的电阻。

网络理论 - 星形到三角形的转换

在上一章中，我们讨论了将三角形网络转换为等效的星形网络。现在，让我们讨论一下星形网络到等效三角形网络的转换。这种转换称为星形到三角形的转换。

在上一章中，我们从三角形网络得到星形网络的电阻为

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 3

三角网络电阻与星形网络电阻的关系

让我们操纵上面的方程，以便根据星形网络的电阻来获得三角形网络的电阻。

• 将每组两个方程相乘，然后相加。

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\右箭头 R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 方程 4

• 将方程 4 除以方程 2，我们将得到

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\右箭头 R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

• 将方程 4 除以方程 3，我们将得到

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

• 将方程 4 除以方程 1，我们将得到

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

利用上述关系式，我们可以从星形网络的电阻中求出三角形网络的电阻。这样，我们就可以将星型网络转变为三角型网络。

例子

让我们计算一下三角形网络的电阻，它相当于星形网络的电阻，如下图所示。

假设星形网络的电阻为R _A = 6 Ω、R _B = 18 Ω和R _C = 3 Ω。

我们知道三角形网络的电阻与星形网络的电阻有以下关系。

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

将R _A、R _B和R _C的值代入上述方程中。

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

因此，我们得到三角形网络的电阻为R ₁ = 10 Ω、R ₂ = 60 Ω和R ₃ = 30 Ω，这相当于给定星形网络的电阻。

网络理论-网络拓扑

网络拓扑是电路的图形表示。它对于通过将复杂电路转换为网络图来分析复杂电路很有用。网络拓扑也称为图论。

网络拓扑基本术语

现在，让我们讨论一下该网络拓扑中涉及的基本术语。

图形

网络图简称为图。它由一组通过分支连接的节点组成。在图中，节点是两个或多个分支的公共点。有时，只有一个分支可能连接到该节点。分支是连接两个节点的线段。

任何电路或网络都可以通过用短路代替无源元件和电压源、用开路代替电流源来转换成其等效图。这意味着，图中的线段代表与无源元件或电路的电压源相对应的分支。

例子

让我们考虑以下电路。

上述电路中有四个主要节点，分别标记为1、2、3、4。上述电路有7个支路，其中一个支路包含20V电压源，另一个支路包含4A电压源。电流源和其余五个支路分别包含阻值为30Ω、5Ω、10Ω、10Ω和20Ω的电阻。

与上述电路对应的等效图如下图所示。

上图中，有四个节点，分别标记为 1、2、3 和 4。这些与电路中的主要节点相同。上图中有六个分支，分别用 a、b、c、d、e 和 f 标记。

在这种情况下，我们在图中减少了一个分支，因为 4 A 电流源被制成开路，同时将电路转换为其等效图。

从这个例子中，我们可以得出以下几点 -

• 图中存在的节点数量将等于电路中存在的主节点数量。

• 图中存在的分支数量将小于或等于电路中存在的分支数量。

图表类型

以下是图表的类型 -

• 连通图
• 不连通图
• 有向图
• 无向图

现在，让我们一一讨论这些图表。

连通图

如果图的任意两个节点之间至少存在一个分支，则称为连通图。这意味着连接图中的每个节点都将有一个或多个与其连接的分支。因此，没有节点会呈现为孤立或分离的。

上一个示例中显示的图是连通图。在这里，所有节点都通过三个分支连接。

不连通图

如果图中至少存在一个节点即使只有一个分支也保持不连接，则称为不连通图。因此，在一张不连通的图中将会存在一个或多个孤立的节点。

考虑下图所示的图表。

在此图中，节点 2、3 和 4 各由两个分支连接。但是，甚至没有一个分支连接到节点1。这样，节点1就成为孤立节点。因此，上图是一个不连通图。

有向图

如果图的所有分支都用箭头表示，则该图称为有向图。这些箭头指示每个分支中电流的方向。因此，该图也称为有向图。

考虑下图所示的图表。

在上图中，每个分支中的电流方向用箭头表示。因此，它是一个有向图。

无向图

如果图的分支没有用箭头表示，则该图称为无向图。由于电流没有方向，因此该图也称为无向图。

本章第一个示例中显示的图是无向图，因为该图的分支上没有箭头。

子图及其类型

图的一部分称为子图。我们通过删除给定图的一些节点和/或分支来获得子图。因此，子图的分支和/或节点的数量将少于原始图的分支和/或节点的数量。因此，我们可以得出结论，子