网络拓扑矩阵
在上一章中，我们讨论了如何将电路转换为等效图。现在，让我们讨论网络拓扑矩阵，它对于通过使用其等效图来解决任何电路或网络问题非常有用。
与网络图相关的矩阵
以下是图论中使用的三个矩阵。
- 关联矩阵
- 基本循环矩阵
- 基本割集矩阵
关联矩阵
关联矩阵表示给定电路或网络的图。因此，可以从关联矩阵绘制同一电路或网络的图形。
我们知道图由一组节点组成，这些节点通过一些分支连接起来。因此，分支到节点的连接称为关联。关联矩阵用字母A表示。也称为节点到分支关联矩阵或节点关联矩阵。
如果有向图中存在“n”个节点且存在“b”个分支，则关联矩阵将具有“n”行和“b”列。这里，行和列对应于有向图的节点和分支。因此，关联矩阵的阶将为n × b。
关联矩阵的元素将具有这三个值之一：+1、-1 和 0。
如果分支电流从选定节点离开，则该元素的值将为+1。
如果支路电流进入选定的节点，则该元素的值将为-1。
如果分支电流既没有进入所选节点，也没有从所选节点离开，则element的值为0。
求关联矩阵的过程
按照以下步骤找到有向图的关联矩阵。
在给定的有向图中每次选择一个节点，并将该节点对应的关联矩阵的元素值填入一行中。
对给定有向图的所有节点重复上述步骤。
例子
考虑下面的有向图。
上述有向图对应的关联矩阵为
$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$
上述矩阵的行和列表示给定有向图的节点和分支。该关联矩阵的阶数为 4 × 6。
通过观察上述关联矩阵，我们可以得出结论：关联矩阵的列元素之和等于0。这意味着支路电流从一个节点离开并仅在另一个单个节点进入。
注意- 如果给定图是无向类型，则通过表示其每个分支上的箭头将其转换为有向图。我们可以考虑每个分支中电流的任意方向。
基本循环矩阵
基本循环或f 循环是一种仅包含一个链接和一个或多个分支的循环。因此，f 环的数量将等于链接的数量。基本回路矩阵用字母B表示。也称为基本回路矩阵、Tie-set矩阵。该矩阵给出了支路电流和链路电流之间的关系。
如果有向图中存在“n”个节点并且存在“b”个分支，则对应于给定图的所选树的共树中存在的链接数量将为b-n+1。
因此，基本循环矩阵将具有“b-n+1”行和“b”列。这里，行和列对应于给定图的共树和分支的链接。因此，基本循环矩阵的阶将为(b - n + 1) × b。
基本循环矩阵的元素将具有这三个值之一：+1、-1 和 0。
对于所选 f 环的链接，element 的值将+1。
对于剩余的链接和树枝，elements 的值将为 0，它们不是所选 f 循环的一部分。
如果所选f-loop的树枝电流方向与f-loop链接电流方向相同，则element的值将+1。
如果所选 f 环的分支电流方向与 f 环链路电流方向相反，则 element 的值为 -1。
寻找基本循环矩阵的过程
按照以下步骤找到给定有向图的基本循环矩阵。
选择给定有向图的树。
通过一次包含一个链接，我们将得到一个 f 环。将与该f循环对应的元素的值填充到基本循环矩阵的一行中。
对所有链接重复上述步骤。
例子
看一下下面的有向图树，它被认为是关联矩阵。
上面的树包含三个分支 d、e 和 f。因此，分支 a、b 和 c 将是与上述树相对应的 Co-Tree 的链接。通过一次包含一个到上述树的链接，我们将得到一个f-loop。因此，由于存在三个链接，因此将存在三个f 循环。这三个 f 环如下图所示。
在上图中，用彩色线表示的分支形成了 f 环。我们将从每个 f 循环中获取 Tie-set 矩阵的行元素值。因此，上述考虑的树的Tieset 矩阵将是
$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \结束{b矩阵}$$
上述矩阵的行和列表示给定有向图的链接和分支。该关联矩阵的阶数为 3 × 6。
有向图的基本循环矩阵的数量将等于该有向图的树的数量。因为，每棵树都会有一个基本循环矩阵。
基本割集矩阵
基本割集或f 割集是从图中删除的分支的最小数量，使得原始图将成为两个孤立的子图。f-cut 集仅包含一根树枝和一个或多个链接。因此，f 割集的数量将等于树枝的数量。
基本割集矩阵用字母 C 表示。该矩阵给出了支路电压和枝电压之间的关系。
如果有向图中存在“n”个节点并且存在“b”个分支，则给定图的选定树中存在的树枝数量将为 n-1。因此，基本割集矩阵将具有“n-1”行和“b”列。这里，行和列对应于所选树的树枝和给定图的分支。因此，基本割集矩阵的阶将为(n-1) × b。
基本割集矩阵的元素将具有这三个值之一：+1、-1 和 0。
对于所选 f 割集的树枝，元素的值将为+1。
对于剩余的树枝和链接，元素的值将为 0，这些树枝和链接不属于选定的 f 割集。
如果所选 f-cut 集合的链接电流方向与 f-cutset 树枝电流方向相同，则该元素的值将+1。
如果所选 f-cutset 的链接电流方向与 f-cutset twig current 的方向相反，则 element 的值为 -1。
求基本割集矩阵的过程
按照以下步骤找到给定有向图的基本割集矩阵。
选择给定有向图的树并用虚线表示链接。
通过一次移除一根树枝和必要的链接，我们将得到一组 f-cut。将与该 f 割集对应的元素值填充到基本割集矩阵的一行中。
对所有树枝重复上述步骤。
例子
考虑我们在关联矩阵部分讨论的相同有向图。选择该有向图的分支 d、e 和 f 作为树枝。因此，该有向图的其余分支 a、b 和 c 将是链接。
下图中，树枝d、e 和 f 用实线表示，链接a、b和c 用虚线表示。
通过一次移除一根树枝和必要的链接，我们将得到一组 f-cut。因此，由于存在三根树枝，因此将存在三个 F 切集。这三个f-cut 集如下图所示。
通过移除一组树枝和 C 1、 C 2和 C 3的链接，我们将获得三个 f 切集。我们将从每个 f 割集中获取基本割集矩阵的行元素值。因此，上述树的基本割集矩阵将是
$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \结束{b矩阵}$$
上述矩阵的行和列表示给定有向图的树枝和分支。该基本割集矩阵的阶数为 3 × 6。
有向图的基本割集矩阵的数量将等于该有向图的树的数量。因为，每棵树都会有一个基本割集矩阵。