最大功率传输定理

---

负载接收到的电量是电气和电子应用中的一个重要参数。在直流电路中，我们可以用电阻值为 R _L欧姆的电阻来表示负载。类似地，在交流电路中，我们可以用阻抗为 Z _L欧姆的复杂负载来表示。

最大功率传输定理指出，只有当负载电阻等于源电阻时，直流电压源才会向可变负载电阻器提供最大功率。

类似地，最大功率传输定理指出，只有当负载阻抗等于源阻抗的复共轭时，交流电压源才会向可变复数负载提供最大功率。

在本章中，我们将讨论直流电路的最大功率传输定理。

最大功率传输定理的证明

_{将具有 R L}欧姆电阻的可变负载电阻器左侧的任何两端线性网络或电路替换为戴维南等效电路。我们知道戴维宁的等效电路类似于实际的电压源。

下图说明了这一概念。

负载电阻上消耗的功率为

$$P_L = I^2 R_L$$

将 $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ 代入上式中。

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ 方程1

最大功率传输的条件

对于最大值或最小值，一阶导数将为零。因此，对方程 1 对R _L求导并使其等于 0。

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L) }{(R_{Th} + R_L)^4} \r大括号 = 0$$

$$\右箭头 (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\右箭头 (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\右箭头 (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\右箭头 R_{Th} = R_L\:或\:R_L = R_{Th}$$

因此，负载上最大功耗的条件是$R_L = R_{Th}$。这意味着，如果负载电阻值等于源电阻值，即戴维宁电阻，则负载上消耗的功率将达到最大值。

最大功率传输值

将 $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ 代入公式 1 中。

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: 因为 \: R_{L} = R_{Th}$$

因此，传输到负载的最大功率为

$$P_{L, 最大值} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

最大功率传输效率

我们可以使用以下公式计算最大功率传输效率 $\eta_{Max}$。

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ 方程 2

在哪里，

• $P_{L, Max}$ 是传输到负载的最大功率。

• $P_S$ 是源产生的电量。

电源产生的电量为

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:因为\:R_{L} = R_{Th}$$

• 将 $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ 代入上式中。

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\右箭头 P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• 将 $P_{L, Max}$ 和 $P_S$ 的值代入公式 2 中。

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{ 2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

我们可以用百分比表示最大功率传输的效率，如下 -

$$\% \eta_{最大值} = \eta_{最大值} \乘以 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\右箭头\%\eta_{最大值} = 50\%$$

因此，最大功率传输效率为50%。

例子

求下图所示电路中可以传送到负载电阻 R _L的最大功率。

步骤 1 - 在戴维南定理章节中，我们计算了端子 A 和 B 左侧的戴维南等效电路。我们现在可以使用该电路。如下图所示。

这里，戴维南的电压 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ 和戴维南的电阻 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

步骤 2 - 将给定电路的端子 A 和 B 左侧的电路部分替换为上述戴维南等效电路。最终的电路图如下图所示。

步骤 3 - 我们可以使用以下公式找到将传递到负载电阻 R _{L的最大功率。}

$$P_{L, 最大值} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

将 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ 和 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ 代入上述公式中。

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, 最大值} = \frac{250}{3} W$$

因此，传递给给定电路的负载电阻 RL 的最大功率为 $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W