统计 - 分层抽样

这种研究策略被用作以下情况的一部分：可以轻松地将人口划分为彼此不相同的群体或阶层，但群体内部的组成部分在某些属性方面是相似的，例如学校的学生可以根据性取向、开设的课程、年龄等进行分层。在此过程中，种群首先被划分为多个层，然后从每个层中采集基本的不规则样本。分层考试有两种：比例分层考试和不比例分层考试。

• 比例分层抽样- 从每个阶层中选择的单位数量与该阶层在人口中所占的比例成比例，例如，一所大学共有 2500 名学生，其中 1500 名学生就读研究生课程，1000 名学生就读研究生课程培训班。如果使用比例分层抽样选择 100 名样本，则样本中的本科生人数将为 60 人，研究生人数为 40 人。因此，这两个阶层在样本中的比例与它们在总体中的比例相同。

  当抽样的目的是估计某些特征的总体值并且层内方差没有差异时，此方法最适用。

• 不成比例的分层抽样——当研究的目的是比较各阶层之间的差异时，就有必要从所有阶层中抽取相等的单位，无论其在人口中所占的比例如何。有时，某些层在某些特征方面比其他层变化更大，在这种情况下，可以从变化更大的层中抽取更多数量的单元。在这两种情况下，抽取的样本都是不成比例的分层样本。

  可以使用以下公式来优化分配层大小和层变异性的差异，以确定不同层的样本大小

  公式

  ${n_i = \frac{n.n_i\sigma_i}{n_1\sigma_1+n_2\sigma_2+...+n_k\sigma_k}\ for\ i = 1,2 ...k}$

  其中 -

  • ${n_i}$ = i 层的样本量。

  • ${n}$ = 地层的大小。

  • ${\sigma_1}$ = i 层的标准差。

  除此之外，可能存在这样的情况：某一层的样本采集成本可能高于其他层。最佳不成比例抽样应以以下方式进行：

  ${\frac{n_1}{n_1\sigma_1\sqrt{c_1}} = \frac{n_2}{n_2\sigma_1\sqrt{c_2}} = ... = \frac{n_k}{n_k\sigma_k\sqrt{ c_k}}}$

  其中${c_1, c_2, ... ,c_k}$指的是k层采样的成本。不同层的样本量可以使用以下公式确定：

  ${n_i = \frac{\frac{n.n_i\sigma_i}{\sqrt{c_i}}}{\frac{n_1\sigma_1}{\sqrt{c_i}}+\frac{n_2\sigma_2}{\sqrt {c_2}}+...+\frac{n_k\sigma_k}{\sqrt{c_k}}}\ for\ i = 1,2 ...k}$

例子

问题陈述：

一个组织有 5000 名员工，分为三个级别。

• A 层：50 名高管，标准差 = 9

• B 层：1250 名非体力工人，标准差 = 4

• C 层：3700 名体力工人，标准差 = 1

如何在不成比例的基础上抽取 300 名员工的样本并进行最佳分配？

解决方案：

使用不成比例抽样的公式进行优化分配。