数字信号处理 - 快速指南

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数字信号处理 - 信号定义

定义

任何携带信息的东西都可以称为信号。它还可以定义为随时间、温度、压力或任何自变量（例如语音信号或视频信号）变化的物理量。

信号的特性（幅度、形状、相位、频率等）发生变化的运算过程称为信号处理。

注- 干扰主信号的任何不需要的信号都称为噪声。因此，噪声也是一种信号，但却是不需要的。

根据信号的表示和处理，信号可以分为各种类别，其详细信息将在下面讨论。

连续时间信号

连续时间信号是沿着时间连续体定义的，因此由连续自变量表示。连续时间信号通常称为模拟信号。

这种类型的信号在幅度和时间上都显示出连续性。这些在每个时刻都有值。正弦和余弦函数是连续时间信号的最好例子。

上面显示的信号是连续时间信号的示例，因为我们可以获取每个时刻的信号值。

离散时间信号

在离散时间定义的信号称为离散信号。因此，每个自变量都有不同的值。因此，它们被表示为数字序列。

尽管语音和视频信号有幸以连续和离散时间格式表示；在某些情况下，它们是相同的。幅度也表现出离散特征。数字信号就是一个完美的例子。其幅度和时间都是离散的。

上图描绘了离散信号在一段时间内的离散幅度特性。从数学上讲，这些类型的信号可以公式化为：

$$x = \left \{ x\left [ n \right ] \right \},\quad -\infty < n< \infty$$

其中，n为整数。

它是一个数字 x 的序列，其中序列中的第 n^个数字表示为 x[n]。

数字信号处理 - 基本 CT 信号

为了测试系统，通常使用标准或基本信号。这些信号是许多复杂信号的基本构建块。因此，它们在信号和系统的研究中发挥着非常重要的作用。

单位脉冲或 Delta 函数

满足条件 $\delta(t) = \lim_{\epsilon \to \infty} x(t)$ 的信号称为单位脉冲信号。当 t = 0 时，该信号趋于无穷大；当 t ≠ 0 时，该信号趋于零，因此其曲线下面积始终等于 1。在 t = 0 时，delta 函数在 excunit_impulse.jpgept 处的振幅为零。

单位脉冲信号的性质

• δ(t) 是偶信号。
• δ(t) 是既非能量也非功率 (NENP) 信号的示例。
• 单位脉冲信号的面积可写为：
$$A = \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t)dt = \int_{-\infty}^{\infty} \lim_{\epsilon \to 0} x(t) dt = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} [x(t)dt] = 1$$
• 信号的权重或强度可以写为：
$$y(t) = A\delta (t)$$
• 加权脉冲信号的面积可以写为 -
$$y (t) = \int_{-\infty}^{\infty} y (t)dt = \int_{-\infty}^{\infty} A\delta (t) = A[\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t)dt ] = A = 1 = Wigthedimpulse$$

单位阶跃信号

满足以下两个条件的信号 -

• $U(t) = 1(当\quad t \geq 0 )并且$
• $U(t) = 0（当\quad t < 0 时）$

称为单位阶跃信号。

它具有在 t = 0 时表现出不连续性的特性。在不连续点，信号值由信号值的平均值给出。该信号是在不连续点之前和之后获取的（根据吉布现象）。

如果我们将一个阶跃信号添加到另一个经过时间缩放的阶跃信号中，那么结果将是统一的。为功率型信号，功率值为0.5。RMS（均方根）值为 0.707，平均值也是 0.5

斜坡信号

阶跃信号的积分产生斜坡信号。用r(t)表示。斜坡信号也满足条件 $r(t) = \int_{-\infty}^{t} U(t)dt = tU(t)$。它既不是能量也不是功率（NENP）类型的信号。

抛物线信号

斜坡信号的积分产生抛物线信号。用p(t)表示。抛物线信号也满足条件 $p(t) = \int_{-\infty}^{t} r(t)dt = (t^{2}/2)U(t)$ 。它既不是能量也不是功率（NENP）类型信号。

符号函数

该函数表示为

$$sgn(t) = \begin{cases}1 & for\quad t >0\\-1 & for\quad t<0\end{cases}$$

它是一个功率类型信号。其功率值和RMS（均方根）值均为1。正负号函数的平均值为零。

正弦函数

它也是正弦函数，可写为 -

$$SinC(t) = \frac{Sin\Pi t}{\Pi T} = Sa(\Pi t)$$

Sinc 函数的性质

• 它是一种能量类型信号。

• $Sinc(0) = \lim_{t \to 0}\frac{\sin \Pi t}{\Pi t} = 1$

• $Sinc(\infty) = \lim_{t \to \infty}\frac{\sin \Pi \infty}{\Pi \infty} = 0$ （sinπ∞ 的范围在 -1 到 +1 之间变化，但任何除法无穷大等于零）

• 如果 $ \sin c(t) = 0 => \sin \Pi t = 0$

  $\Rightarrow \Pi t = n\Pi$

  $\右箭头 t = n (n \neq 0)$

正弦信号

本质上连续的信号称为连续信号。正弦信号的一般格式是

$$x(t) = A\sin (\omega t + \phi )$$

这里，

A = 信号幅度

ω = 信号的角频率（以弧度为单位测量）

φ = 信号的相位角（以弧度为单位测量）

这种信号有在一定时间后重复出现的趋势，因此称为周期信号。信号的时间周期由下式给出：

$$T = \frac{2\pi }{\omega }$$

正弦信号的示意图如下所示。

矩形函数

如果信号满足以下条件，则称其为矩形函数类型 -

$$\pi(\frac{t}{\tau}) = \begin{cases}1, & for\quad t\leq \frac{\tau}{2}\\0, & 否则\end{cases} $$

该信号关于 Y 轴对称，称为偶信号。

三角脉冲信号

任何满足以下条件的信号称为三角信号。

$$\Delta(\frac{t}{\tau}) = \begin{cases}1-(\frac{2|t|}{\tau}) & for|t|<\frac{\tau}{ 2}\\0 & for|t|>\frac{\tau}{2}\end{cases}$$

该信号关于 Y 轴对称。因此，它也被称为偶信号。

数字信号处理 - 基本 DT 信号

我们已经看到了如何在连续时域中表示基本信号。让我们看看如何在离散时域中表示基本信号。

单位脉冲序列

它在离散时域中表示为 δ(n)，可以定义为：

$$\delta(n)=\begin{cases}1, & for \quad n=0\\0, & 否则\end{cases}$$

单位阶跃信号

离散时间单位阶跃信号定义为；

$$U(n)=\begin{cases}1, & 对于 \quad n\geq0\\0, & 对于 \quad n<0\end{cases}$$

上图显示了离散阶跃函数的图形表示。

单位斜坡功能

离散单位斜坡函数可以定义为 -

$$r(n)=\begin{cases}n, & 对于 \quad n\geq0\\0, & 对于 \quad n<0\end{cases}$$

上图显示了离散斜坡信号的图形表示。

抛物线函数

离散单位抛物线函数记为 p(n)，可定义为：

$$p(n) = \begin{cases}\frac{n^{2}}{2} ,& 对于 \quad n\geq0\\0, & 对于 \quad n<0\end{cases}$$

就单位阶跃函数而言，它可以写为：

$$P(n) = \frac{n^{2}}{2}U(n)$$

上图显示了抛物线序列的图形表示。

正弦信号

所有连续时间信号都是周期性的。离散时间正弦序列可以是周期性的，也可以不是周期性的。它们取决于 ω 的值。对于周期性的离散时间信号，角频率 ω 必须是 2π 的有理倍数。

上图显示了离散正弦信号。

正弦信号的离散形式可以用以下格式表示 -

$$x(n) = A\sin(\omega n + \phi)$$

这里A、ω和φ具有通常的含义，n是整数。离散正弦信号的时间周期由下式给出 -

$$N =\frac{2\pi m}{\omega}$$

其中，N和m为整数。

DSP - CT 信号分类

连续时间信号可以根据不同的条件或对信号执行的操作进行分类。

偶数和奇数信号

均匀信号

如果信号满足以下条件，则称该信号为偶数；

$$x(-t) = x(t)$$

这里信号的时间反转并不意味着幅度有任何变化。例如，考虑如下所示的三角波。

三角波信号是偶数信号。因为，它关于 Y 轴对称。可以说它是关于Y轴的镜像。

考虑另一个信号，如下图所示。

我们可以看到上面的信号是均匀的，因为它关于 Y 轴对称。

奇数信号

如果信号满足以下条件，则称其为奇数

$$x(-t) = -x(t)$$

这里，时间反转和幅度变化同时发生。

在上图中，我们可以看到一个阶跃信号x(t)。为了测试是否为奇信号，我们首先进行时间反转，即x(-t)，结果如图所示。然后我们反转结果信号的幅度，即-x(-t)，得到如图所示的结果。

如果我们比较第一个和第三个波形，我们可以看到它们是相同的，即x(t)= -x(-t)，这满足我们的标准。因此，上述信号是奇信号。

下面给出了与偶数和奇数信号相关的一些重要结果。

• 偶数 × 偶数 = 偶数
• 奇数 × 奇数 = 偶数
• 偶数 × 奇数 = 奇数
• 偶数 ± 偶数 = 偶数
• 奇数 ± 奇数 = 奇数
• 偶数 ± 奇数 = 既不是偶数也不是奇数

将任何信号表示为偶数或奇数形式

有些信号不能直接分为偶数或奇数类型。这些被表示为偶数和奇数信号的组合。

$$x(t)\rightarrow x_{e}(t)+x_{0}(t)$$

其中 x _e (t) 表示偶信号，x _o (t) 表示奇信号

$$x_{e}(t)=\frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$

和

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

例子

求信号的偶数和奇数部分 $x(n) = t+t^{2}+t^{3}$

解决方案- 通过反转 x(n)，我们得到

$$x(-n) = -t+t^{2}-t^{3}$$

现在，根据公式，偶数部分

$$x_{e}(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})+(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t^{2}$$

类似地，根据公式奇数部分为

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})-(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t+t^{3}$$

周期性和非周期性信号

周期信号

周期性信号在一定时间间隔后会重复出现。我们可以将其以方程形式表示为 -

$$x(t) = x(t)\pm nT$$

其中，n = 整数 (1,2,3……)

T = 基本时间段 (FTP) ≠ 0 且 ≠ ∞

基本时间周期 (FTP) 是信号周期性的最小正固定时间值。

上图所示为振幅 A 的三角信号。这里，信号每 1 秒重复一次。因此，我们可以说该信号是周期性的，其FTP为1秒。

非周期信号

简单地说，非周期性的信号本质上是非周期性的。显然，这些信号在任何间隔时间后都不会重复。

非周期信号不遵循一定的格式；因此，没有特定的数学方程可以描述它们。

能量和功率信号

当且仅当所包含的总能量是有限且非零的（0 < E < ∞）时，信号才被称为能量信号。因此，对于任何能量类型信号，总归一化信号是有限且非零的。

正弦交流电流信号是能量类型信号的完美示例，因为它在一种情况下处于正半周期，然后在下一个半周期中为负。因此，其平均功率变为零。

无损电容器也是能量类型信号的完美示例，因为当它连接到电源时，它会充电到最佳水平，而当电源被移除时，它会通过负载耗散等量的能量，并使其平均功率达到零。

对于任何有限信号 x(t)，能量可以用 E 表示，并写为：

$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}(t)dt$$

能量类型信号的频谱密度给出了分布在不同频率水平的能量量。

电源类型 信号

当且仅当归一化平均功率有限且非零，即 (0<p<∞) 时，信号被称为功率类型信号。对于功率类型信号，归一化平均功率是有限且非零的。几乎所有的周期信号都是功率信号，它们的平均功率是有限且非零的。

在数学形式中，信号 x(t) 的功率可以写为：

$$P = \lim_{T \rightarrow \infty}1/T\int_{-T/2}^{+T/2} x^{2}(t)dt$$

能量和功率信号之间的差异

下表总结了能量信号和功率信号的差异。

已解决的例子

示例 1 - 求信号的功率 $z(t) = 2\cos(3\Pi t+30^{o})+4\sin(3\Pi +30^{o})$

解决方案- 上述两个信号彼此正交，因为它们的频率项彼此相同，并且它们具有相同的相位差。因此，总力量将是个体力量的总和。

令 $z(t) = x(t)+y(t)$

其中 $x(t) = 2\cos (3\Pi t+30^{o})$ 和 $y(t) = 4\sin(3\Pi +30^{o})$

$x(t) 的幂 = \frac{2^{2}}{2} = 2$

$y(t) 的幂 = \frac{4^{2}}{2} = 8$

因此，$P(z) = p(x)+p(y) = 2+8 = 10$ …Ans。

示例 2 - 测试给定的信号 $x(t) = t^{2}+j\sin t$ 是否共轭？

解决方案- 这里，实部 t ²是偶数，奇数部分（虚数）$\sin t$ 是奇数。所以上面的信号就是共轭信号。

示例 3 - 验证 $X(t)= \sin \omega t$ 是奇数信号还是偶数信号。

解- 给定 $X(t) = \sin \omega t$

通过时间反转，我们可以得到 $\sin (-\omega t)$

但我们知道 $\sin(-\phi) = -\sin \phi$。

所以，

$$\sin (-\omega t) = -\sin \omega t$$

这满足信号为奇数的条件。因此，$\sin \omega t$ 是奇信号。

DSP - DT 信号的分类

就像连续时间信号一样，离散时间信号可以根据信号的条件或操作进行分类。

偶数和奇数信号

均匀信号

如果信号满足以下条件，则称其为偶数或对称信号；

$$x(-n) = x(n)$$

在这里，我们可以看到 x(-1) = x(1)、x(-2) = x(2) 和 x(-n) = x(n)。因此，它是一个偶数信号。

奇数信号

如果信号满足以下条件，则称其为奇信号；

$$x(-n) = -x(n)$$

从图中我们可以看出 x(1) = -x(-1)、x(2) = -x(2) 和 x(n) = -x(-n)。因此，它是一个奇数且反对称的信号。

周期性和非周期性信号

离散时间信号是周期性的当且仅当它满足以下条件 -

$$x(n+N) = x(n)$$

这里，x(n) 信号在 N 周期后重复。通过考虑余弦信号可以最好地理解这一点 -

$$x(n) = A \cos(2\pi f_{0}n+\theta)$$ $$x(n+N) = A\cos(2\pi f_{0}(n+N)+ \theta) = A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta)$$ $$= A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_ {0}N+θ)$$

要使信号成为周期性的，应满足以下条件；

$$x(n+N) = x(n)$$ $$\Rightarrow A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta) = A \cos(2\ pi f_{0}n+\theta)$$

即 $2\pi f_{0}N$ 是 $2\pi$ 的整数倍

$$2\pi f_{0}N = 2\pi K$$ $$\Rightarrow N = \frac{K}{f_{0}}$$

离散正弦信号的频率由 $2\pi$ 的整数倍分隔。

能量和功率信号

能量信号

离散时间信号的能量记为E。在数学上，它可以写为：

$$E = \displaystyle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|^2$$

如果将 $x(n)$ 的每个单独值进行平方并相加，我们就得到能量信号。这里 $x(n)$ 是能量信号，其能量随着时间的推移是有限的，即 $0< E< \infty$

电源信号

离散信号的平均功率用 P 表示。在数学上，这可以写为：

$$P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1}\displaystyle\sum\limits_{n=-N}^{+N} |x(n)|^2$$

这里，功率是有限的，即 0<P<∞。然而，有一些信号既不属于能量也不属于功率类型信号。

DSP - 杂项信号

还有其他信号，它们是对它们执行操作的结果。下面讨论一些常见类型的信号。

共轭信号

满足条件 $x(t) = x*(-t)$ 的信号称为共轭信号。

设 $x(t) = a(t)+jb(t)$ ...eqn。1

所以，$x(-t) = a(-t)+jb(-t)$

并且$x*(-t) = a(-t)-jb(-t)$ ...eqn。2

根据条件，$x(t) = x*(-t)$

如果我们比较导出的方程1和2，我们可以看到实部是偶数，而虚部是奇数。这是信号为共轭类型的条件。

共轭反对称信号

满足条件 $x(t) = -x*(-t)$ 的信号称为共轭反对称信号

设$x(t) = a(t)+jb(t)$ ...eqn。1

所以$x(-t) = a(-t)+jb(-t)$

$x*(-t) = a(-t)-jb(-t) $

$-x*(-t) = -a(-t)+jb(-t)$ ...eqn。2

按条件$x(t) = -x*(-t)$

现在，再次比较这两个方程，就像我们对共轭信号所做的那样。在这里，我们会发现实部是奇数，虚部是偶数。这是信号成为共轭反对称型的条件。

例子

令给出的信号为 $x(t) = \sin t+jt^{2}$。

这里，实部 $\sin t$ 是奇数，虚部 $t^2$ 是偶数。因此，该信号可以归类为共轭反对称信号。

任何函数都可以分为两部分。一部分是共轭对称，另一部分是共轭反对称。所以任何信号 x(t) 都可以写成

$$x(t) = xcs(t)+xcas(t)$$

其中$xcs(t)$是共轭对称信号，$xcas(t)$是共轭反对称信号

$$xcs(t) = \frac{[x(t)+x*(-t)]}{2}$$

和

$$xcas(t) = \frac{[x(t)-x*(-t)]}{2}$$

半波对称信号

当信号满足条件$cx(t) = -x(t\pm (\frac{T_{0}}{2}))$时，称为半波对称信号。这里，信号的幅度反转和时移发生了一半的时间。对于半波对称信号，平均值将为零，但情况相反时则不是这种情况。

考虑一个信号 x(t)，如上图 A 所示。第一步是对信号进行时移并使其变为 $x[t-(\frac{T}{2})]$。因此，新信号的变化如图 B 所示。接下来，我们反转信号的幅度，即使其变为 $-x[t-(\frac{T}{2})]$，如图 C 所示。由于该信号在半时移和幅度反转后重复自身，因此它是半波对称信号。

正交信号

如果两个信号 x(t) 和 y(t) 满足以下两个条件，则称它们是正交的。

条件 1 − $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y(t) = 0$ [对于非周期信号]

条件 2 − $\int x(t)y(t) = 0$ [对于周期信号]

包含奇次谐波（三次^、五次^、七次^……等）并且具有不同频率的信号彼此正交。

在三角型信号中，正弦函数和余弦函数也彼此正交；前提是它们具有相同的频率和相同的相位。以同样的方式，DC（直流信号）和正弦信号也彼此正交。如果 x(t) 和 y(t) 是两个正交信号并且 $z(t) = x(t)+y(t)$ 则 z(t) 的功率和能量可以写为；

$$P(z) = p(x)+p(y)$$ $$E(z) = E(x)+E(y)$$

例子

分析信号：$z(t) = 3+4\sin(2\pi t+30^0)$

这里，信号由直流信号（3）和一个正弦函数组成。因此，从性质上讲，该信号是正交信号，并且其中的两个子信号彼此正交。

DSP - 信号移位操作

移位意味着信号在时域（围绕 Y 轴）或幅度域（围绕 X 轴）的移动。因此，我们可以将平移分为两类，即时间平移和幅度平移，这些将在下面讨论。

时移

时移是指信号在时域中的移动。从数学上来说，它可以写成

$$x(t) \rightarrow y(t+k)$$

这个K值可以是正值，也可以是负值。根据k值的符号，我们有两种类型的移位，称为右移位和左移位。

情况1（K > 0）

当 K 大于零时，信号在时域中向“左”移动。因此，这种类型的移位被称为信号的左移位。

例子

情况2（K<0）

当 K 小于零时，信号在时域中向右移动。因此，这种类型的移位被称为右移位。

例子

下图显示了信号右移 2。

幅度转换

幅度偏移意味着信号在幅度域（绕 X 轴）的偏移。在数学上，它可以表示为 -

$$x(t) \rightarrow x(t)+K$$

这个K值可以是正值，也可以是负值。因此，我们有两种类型的幅移，随后将在下面讨论。

情况1（K > 0）

当 K 大于零时，信号沿 x 轴向上移动。因此，这种类型的换档被称为向上换档。

例子

让我们考虑一个信号 x(t)，其给出为：

$$x = \begin{cases}0, & t < 0\\1, & 0\leq t\leq 2\\ 0, & t>0\end{cases}$$

假设我们采用 K=+1，因此新信号可以写为 -

$y(t) \rightarrow x(t)+1$ 因此，y(t) 最终可以写为；

$$x(t) = \begin{cases}1, & t < 0\\2, & 0\leq t\leq 2\\ 1, & t>0\end{cases}$$

情况2（K<0）

当 K 小于零时，信号会沿 X 轴向下移动。因此，称为信号下移。

例子

让我们考虑一个信号 x(t)，其给出为：

$$x(t) = \begin{cases}0, & t < 0\\1, & 0\leq t\leq 2\\ 0, & t>0\end{cases}$$

让我们取 K = -1，这样新信号可以写成：

$y(t)\rightarrow x(t)-1$ 因此，y(t) 最终可以写为；

$$y(t) = \begin{cases}-1, & t < 0\\0, & 0\leq t\leq 2\\ -1, & t>0\end{cases}$$

DSP - 信号缩放操作

信号缩放意味着将常数乘以信号的时间或幅度。

时间缩放

如果一个常数乘以时间轴，则称为时间缩放。这可以在数学上表示为：

$x(t) \rightarrow y(t) = x(\alpha t)$ 或 $x(\frac{t}{\alpha})$; 其中 α ≠ 0

因此，y 轴相同，x 轴大小根据常数的符号（无论是正数还是负数）而减小或增大。因此，缩放也可以分为两类，如下所述。

时间压缩

每当 alpha 大于零时，信号的幅度就会除以 alpha，而 Y 轴的值保持不变。这称为时间压缩。

例子

让我们考虑一个信号 x(t)，如下图所示。让我们将 alpha 的值设为 2。因此，y(t) 将是 x(2t)，如下图所示。

显然，从上图我们可以看到，y轴的时间幅度保持不变，但x轴的幅度从4减小到2。因此，这是时间压缩的情况。

时间扩展

当时间除以常数 alpha 时，信号的 Y 轴幅度将乘以 alpha 倍，X 轴幅度保持不变。因此，这被称为时间扩展型信号。

例子

让我们考虑一个幅度为 1 的方波信号 x(t)。当我们将其时间缩放为常数 3 时，$x(t) \rightarrow y(t) \rightarrow x(\frac{t}{3} )$，则信号的幅度被修改3倍，如下图所示。

幅度缩放

将常数与信号幅度相乘会导致幅度缩放。根据常数的符号，它可以是幅度缩放或衰减。让我们考虑一个方波信号 x(t) = Π(t/4)。

假设我们定义另一个函数 y(t) = 2 Π(t/4)。在这种情况下，y 轴的值将加倍，时间轴值保持不变。如下图所示。

考虑另一个定义为 z(t) 的方波函数，其中 z(t) = 0.5 Π(t/4)。这里，函数 z(t) 的幅度将是 x(t) 幅度的一半，即时间轴保持不变，幅度轴将减半。下图说明了这一点。

DSP - 信号反转操作

每当信号中的时间乘以-1时，信号就会反转。它产生关于 Y 或 X 轴的镜像。这称为信号反转。

根据信号的时间或幅度是否乘以-1的条件，反转可以分为两种类型。

时间逆转

每当信号的时间乘以-1时，就称为信号的时间反转。在这种情况下，信号产生关于 Y 轴的镜像。从数学上来说，这可以写成：

$$x(t) \rightarrow y(t) \rightarrow x(-t)$$

通过以下示例可以最好地理解这一点。

在上面的示例中，我们可以清楚地看到信号已绕其 Y 轴反转。所以，它也是一种时间缩放，但这里缩放量始终为（-1）。

振幅反转

每当信号的幅度乘以-1时，就称为幅度反转。在这种情况下，信号产生关于 X 轴的镜像。从数学上来说，这可以写成：

$$x(t)\右箭头 y(t)\右箭头 -x(t)$$

考虑以下示例。可以清楚地看到幅度反转。

DSP - 信号微分运算

对信号执行的两个非常重要的操作是微分和积分。

差异化

任何信号 x(t) 的微分意味着该信号相对于时间的斜率表示。在数学上，它表示为；

$$x(t)\rightarrow \frac{dx(t)}{dt}$$

在运算放大器微分的情况下，这种方法非常有帮助。我们可以轻松地以图形方式区分信号，而不是使用公式。然而，条件是信号必须是矩形或三角形类型，这在大多数情况下都会发生。

上表说明了微分后信号的情况。例如，斜坡信号经过微分后转换为阶跃信号。类似地，单位阶跃信号变成脉冲信号。

例子

设给我们的信号为 $x(t) = 4[r(t)-r(t-2)]$。当绘制该信号时，它将如下图左侧所示。现在，我们的目标是区分给定的信号。

首先，我们将开始对给定的方程进行微分。我们知道微分后的斜坡信号给出单位阶跃信号。

所以我们得到的信号 y(t) 可以写成：

$y(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

$= \frac{d4[r(t)-r(t-2)]}{dt}$

$= 4[u(t)-u(t-2)]$

现在终于绘制了该信号，如上图右侧所示。

DSP - 信号集成操作

任何信号的积分是指在特定时域下对该信号进行求和以获得修正信号。从数学上来说，这可以表示为 -

$$x(t)\rightarrow y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(t)dt$$

同样，在大多数情况下，我们可以进行数学积分并找到结果信号，但对于以矩形格式图形描绘的信号，可以快速连续地进行直接积分。和微分一样，这里我们也会参考一个表格来快速得到结果。

例子

让我们考虑一个信号 $x(t) = u(t)-u(t-3)$。如下图1所示。显然，我们可以看到这是一个阶跃信号。现在我们将整合它。参考该表，我们知道阶跃信号的积分产生斜坡信号。

但是，我们会用数学方法计算，

$y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(t)dt$

$= \int_{-\infty}^{t}[u(t)-u(t-3)]dt$

$= \int_{-\infty}^{t}u(t)dt-\int_{-\infty}^{t}u(t-3)dt$

$= r(t)-r(t-3)$

同样的绘制如图 2 所示，

DSP - 信号卷积运算

两个信号在时域中的卷积相当于它们在频域中表示的乘法。在数学上，我们可以将两个信号的卷积写为

$$y(t) = x_{1}(t)*x_{2}(t)$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(p).x_{2 }(tp)dp$$

卷积步骤

• 取信号 x ₁ (t) 并将 t = p 放在那里，使其成为 x ₁ (p)。
• 取信号 x ₂ (t) 并执行步骤 1，使其变为 x ₂ (p)。
• 对信号进行折叠，即 x ₂ (-p)。
• 对上述信号进行时移 x ₂ [-(pt)]
• 然后将两个信号相乘。即 $x_{1}(p).x_{2}[−(p−t)]$

例子

让我们对阶跃信号 u(t) 与其自身类型进行卷积。

$y(t) = u(t)*u(t)$

$= \int_{-\infty}^{\infty}[u(p).u[-(pt)]dp$

现在这个t可以大于或小于零，如下图所示

因此，对于上述情况，结果出现以下可能性

$y(t) = \begin{cases}0, & if\quad t<0\\\int_{0}^{t}1dt, & for\quad t>0\end{cases}$

$= \begin{cases}0, & if\quad t<0\\t, & t>0\end{cases} = r(t)$

卷积的性质

交换律

它指出卷积的顺序并不重要，这可以在数学上表示为

$$x_{1}(t)*x_{2}(t) = x_{2}(t)*x_{1}(t)$$

联想式

它指出涉及三个信号的卷积顺序可以是任何顺序。在数学上，它可以表示为；

$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)*x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)]*x_{3} （吨）$$

分配性

可以先将两个信号相加，然后对第三个信号进行卷积。这相当于两个信号分别与第三个信号进行卷积，最后相加。从数学上来说，这可以写成：

$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)+x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)+x_{1}( t)*x_{3}(t)]$$

区域

如果一个信号是两个信号卷积的结果，那么该信号的面积就是这些单独信号的乘积。从数学上讲，这可以写成

如果$y(t) = x_{1}*x_{2}(t)$

那么，y(t) 的面积 = x ₁ (t) 的面积 X x ₂ (t)的面积

缩放

如果两个信号被缩放到某个未知常数“a”并完成卷积，则所得信号也将被卷积到相同的常数“a”，并除以该量，如下所示。

如果$x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$

那么$x_{1}(at)*x_{2}(at) = \frac{y(at)}{a}, a \ne 0$

延迟

假设信号 y(t) 是两个信号 x1(t) 和 x2(t) 卷积的结果。如果两个信号分别延迟时间t1和t2，则所得信号y(t)将延迟(t1+t2)。从数学上来说，它可以写成 -

如果$x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$

然后，$x_{1}(t-t_{1})*x_{2}(t-t_{2}) = y[t-(t_{1}+t_{2})]$

已解决的例子

示例 1 - 求信号 u(t-1) 和 u(t-2) 的卷积。

解决方案- 给定信号为 u(t-1) 和 u(t-2)。它们的卷积可以如下所示完成 -

$y(t) = u(t-1)*u(t-2)$

$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}[u(t-1).u(t-2)]dt$

$= r(t-1)+r(t-2)$

$= r(t-3)$

示例 2 - 求两个信号的卷积：

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $

$x_{2}(n) = \begin{cases}2, & 0\leq n\leq 4\\0, & x > 别处\end{cases}$

解决方案-

x ₂ (n) 可以解码为 $x_{2}(n) = \lbrace 2,2,2,2,2\rbrace Originalfirst$

x ₁ (n) 先前已给出 $= \lbrace 3,-2,3\rbrace = 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}$

类似地，$x_{2}(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}$

结果信号，

$X(Z) = X_{1}(Z)X_{2}(z)$

$= \lbrace 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}\rbrace \times \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^ {-4}\r大括号$

$= 6+2Z^{-1}+6Z^{-2}+6Z^{-3}+6Z^{-4}+6Z^{-5}$

对上述进行 Z 逆变换，我们将得到结果信号：

$x(n) = \lbrace 6,2,6,6,6,0,4\rbrace$ 第一个原点

示例 3 - 确定以下 2 个信号的卷积 -

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$

解决方案-

对信号进行 Z 变换，我们得到，

$x(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}$

$h(n) = 1+2Z^{-1 } +3Z^{-2}+Z^{-3}$

现在，两个信号的卷积意味着它们的 Z 变换的乘法

即$Y(Z) = X(Z) \times h(Z)$

$= \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}\rbrace \times \lbrace 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}\rbrace$

$= \lbrace 2+5Z^{-1}+8Z^{-2}+6Z^{-3}+3Z^{-4}+3Z^{-5}+Z^{-6}\rbrace$

采用 Z 逆变换，所得信号可以写为：

$y(n) = \lbrace 2,5,8,6,6,1 \rbrace Originalfirst$

数字信号处理 - 静态系统

有些系统有反馈，有些则没有。那些没有反馈系统的系统，其输出仅取决于输入的当前值。当时不存在数据的过去值。这些类型的系统称为静态系统。它也不取决于未来的价值。

由于这些系统没有任何过去的记录，因此它们也没有任何记忆。因此，我们说所有静态系统都是无内存系统。让我们举一个例子来更好地理解这个概念。

例子

让我们验证以下系统是否是静态系统。

• $y(t) = x(t)+x(t-1)$
• $y(t) = x(2t)$
• $y(t) = x = \sin [x(t)]$

a) $y(t) = x(t)+x(t-1)$

这里，x(t)是现值。这与当时过去的价值观没有关系。因此，它是一个静态系统。然而，在 x(t-1) 的情况下，如果我们设置 t = 0，它将减少到 x(-1)，这是依赖于过去的值。所以，它不是静态的。因此这里 y(t) 不是静态系统。

b) $y(t) = x(2t)$

如果我们代入 t = 2，结果将是 y(t) = x(4)。同样，它取决于未来价值。因此，它也不是一个静态系统。

c) $y(t) = x = \sin [x(t)]$

在这个表达式中，我们处理的是正弦函数。正弦函数的范围在-1到+1之间。因此，无论我们用什么值代替 x(t)，我们都会得到 -1 到 +1 之间的值。因此，我们可以说它不依赖于任何过去或未来的值。因此，它是一个静态系统。

从上面的例子，我们可以得出以下结论 -

• 任何具有时移的系统都不是静态的。
• 任何具有幅移的系统也不是静态的。
• 整合和微分的情况也不是静态的。

数字信号处理 - 动态系统

如果一个系统取决于任意时刻信号的过去和未来值，那么它被称为动态系统。与静态系统不同，这些不是无内存系统。它们存储过去和未来的值。因此，它们需要一些记忆。让我们通过一些例子更好地理解这个理论。

例子

判断下列系统是否是动态的。

a) $y(t) = x(t+1)$

在这种情况下，如果我们将 t = 1 放入方程中，它将转换为 x(2)，这是一个未来的依赖值。因为这里我们给出的输入为 1，但它显示的是 x(2) 的值。由于它是一个依赖于未来的信号，因此显然它是一个动态系统。

b) $y(t) = 实数[x(t)]$

$$= \frac{[x(t)+x(t)^*]}{2}$$

在这种情况下，无论我们输入什么值，它都会显示该时间的实际值信号。它不依赖于未来或过去的值。因此，它不是一个动态系统，而是一个静态系统。

c) $y(t) = 偶数[x(t)]$

$$= \frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$

在这里，如果我们替换 t = 1，一个信号将显示 x(1)，另一个信号将显示 x(-1)，这是一个过去的值。类似地，如果我们设置 t = -1，那么一个信号将显示 x(-1)，另一个信号将显示 x(1)，这是一个未来值。因此，显然这是动态系统的情况。

d) $y(t) = \cos [x(t)]$

在这种情况下，由于系统是余弦函数，因此它具有介于 -1 到 +1 之间的特定值域。因此，无论我们输入什么值，我们都会得到指定限制内​​的结果。因此，它是一个静态系统

从上面的例子，我们可以得出以下结论 -

• 所有时移情况信号都是动态信号。
• 在时间缩放的情况下，所有信号都是动态信号。
• 集成案例信号是动态信号。

数字信号处理 - 因果系统

之前，我们看到系统需要独立于未来和过去的值才能成为静态的。在这种情况下，条件几乎相同，几乎没有修改。在这里，为了使系统具有因果性，它应该仅独立于未来值。这意味着过去的依赖不会导致系统变得因果。

因果系统是实际上或物理上可实现的系统。让我们考虑一些例子来更好地理解这一点。

例子

让我们考虑以下信号。

a) $y(t) = x(t)$

这里，信号仅取决于 x 的当前值。例如，如果我们替换 t = 3，结果将仅显示该时刻的结果。因此，由于它不依赖于未来价值，我们可以将其称为因果系统。

b) $y(t) = x(t-1)$

在这里，系统取决于过去的值。例如，如果我们替换 t = 3，表达式将简化为 x(2)，这是针对我们输入的过去值。在任何情况下，它都取决于未来的价值。因此，这个系统也是一个因果系统。

c) $y(t) = x(t)+x(t+1)$

在这种情况下，系统有两个部分。正如我们之前讨论的，x(t) 部分仅取决于当前值。所以，这没有问题。然而，如果我们采用 x(t+1) 的情况，它显然取决于未来值，因为如果我们设置 t = 1，表达式将减少为 x(2)，即未来值。因此，这不是因果关系。

DSP - 非因果系统

非因果系统与因果系统正好相反。如果一个系统取决于任意时刻输入的未来值，则该系统被称为非因果系统。

例子

让我们举一些例子并尝试以更好的方式理解这一点。

a) $y(t) = x(t+1)$

我们也已经在因果系统中讨论过这个系统。对于任何输入，它都会将系统降低到其未来值。例如，如果我们设置 t = 2，它将减少到 x(3)，这是一个未来值。因此，该系统是非因果的。

b) $y(t) = x(t)+x(t+2)$

在这种情况下，x(t) 纯粹是一个现值相关函数。我们已经讨论过 x(t+2) 函数是未来相关的，因为当 t = 3 时，它将给出 x(5) 的值。因此，它是非因果的。

c) $y(t) = x(t-1)+x(t)$

在该系统中，它取决于给定输入的当前值和过去值。无论我们替换什么值，它都不会表现出任何未来的依赖性。显然，它不是一个非因果系统；相反，它是一个因果系统。

DSP - 反因果系统

反因果系统只是非因果系统的一点修改版本。该系统仅取决于输入的未来值。它不依赖于当前或过去的值。

例子

判断下列系统是否是反因果系统。

a) $y(t) = x(t)+x(t-1)$

该系统有两个子功能。一个子函数 x(t+1) 取决于输入的未来值，但另一个子函数 x(t) 仅取决于当前值。由于系统除了依赖于未来值之外还依赖于现值，因此该系统不是反因果的。

b) $y(t) = x(t+3)$

如果我们分析上述系统，我们可以看到该系统仅取决于系统的未来值，即如果我们将 t = 0，它将减少到 x(3)，这是一个未来值。该系统是反因果系统的完美范例。

数字信号处理 - 线性系统

线性系统遵循叠加定律。该定律是证明系统线性的充要条件。除此之外，该系统是两种法律的组合 -

• 可加性定律
• 同质性定律

上图显示了同质性定律和可加性定律。然而，还有一些其他条件来检查系统是否是线性的。

条件是-

• 对于零输入，输出应该为零。
• 系统中不应存在任何非线性算子。

非线性算子的例子 -

(a) 三角运算符 - Sin、Cos、Tan、Cot、Sec、Cosec 等。

(b) 指数、对数、模数、平方、立方等。

(c) sa(i/p) 、 Sinc (i/p) 、 Sqn (i/p) 等。

输入 x 或输出 y 不应具有这些非线性运算符。

例子

让我们看看以下系统是否是线性的。

a) $y(t) = x(t)+3$

该系统不是线性系统，因为它违反了第一个条件。如果我们将输入设为零，使 x(t) = 0，则输出不为零。

b) $y(t) = \sin tx(t)$

在这个系统中，如果我们将输入设为零，则输出将变为零。因此，第一个条件显然是满足的。同样，没有对 x(t) 应用非线性算子。因此，第二个条件也满足。因此，该系统是一个线性系统。

c) $y(t) = \sin (x(t))$

在上面的系统中，满足第一个条件，因为如果我们输入 x(t) = 0，输出也将是 sin(0) = 0。但是，第二个条件不满足，因为存在一个非线性算子运算 x(t)。因此，系统不是线性的。

DSP - 非线性系统

如果我们要定义这个系统，我们可以说，非线性的系统就是非线性系统。显然，在这种情况下，应该满足线性系统中违反的所有条件。

状况

• 当施加的输入为零时，输出不应为零。

• 任何非线性算子都可以应用于输入或输出以使系统非线性。

例子

找出给定系统是线性的还是非线性的。

a) $y(t) = e^{x(t)}$

在上述系统中，满足第一个条件，因为如果我们使输入为零，则输出为1。此外，对输入应用了指数非线性算子。显然，这是一个非线性系统的情况。

b) $y(t) = x(t+1)+x(t-1)$

上述类型的系统处理过去和未来的值。但是，如果我们将其输入设为零，则其值都不存在。因此，我们可以说，如果输入为零，那么输入的时间缩放和时移版本也将为零，这违反了我们的第一个条件。同样，不存在非线性算子。因此，第二个条件也被违反。显然，这个系统不是一个非线性系统；相反，它是一个线性系统。

DSP - 时不变系统

对于时不变系统，输出和输入应该延迟某个时间单位。对于时不变系统，输入中提供的任何延迟都必须反映在输出中。

例子

a) $y(T) = x(2T)$

如果是上面的表达式，则先经过系统，再经过时间延迟（如图上半部分所示）；那么输出将变为$x(2T-2t)$。现在，相同的表达式首先经过时间延迟，然后通过系统（如图下部分所示）。输出将变为 $x(2T-t)$。

因此，该系统不是时不变系统。

b) $y(T) = \sin [x(T)]$

如果信号先经过系统，再经过延时过程，则输出为$\sin x(Tt)$。类似地，如果系统先经过时间延迟，然后再经过系统，则输出将为 $\sin x(Tt)$。我们可以清楚地看到两个输出是相同的。因此，系统是时不变的。

DSP - 时变系统

对于时变系统，输出和输入也应延迟某个时间常数，但输入处的延迟不应反映在输出处。所有时间缩放案例都是时变系统的示例。类似地，当系统关系中的系数是时间的函数时，那么系统也是时变的。

例子

a) $y(t) = x[\cos T]$

如果上述信号先经过系统，再经过时间延迟，则输出为$x\cos (Tt)$。如果先经过时间延迟再经过系统，则为$x(\cos Tt)$。由于输出不相同，系统是时变的。

b) $y(T) = \cos Tx(T)$

如果上面的表达式先经过系统，然后再经过时间延迟，那么输出将为$\cos(Tt)x(Tt)$。但是，如果表达式先经过时间延迟，然后再经过系统，则输出将为 $\cos Tx(Tt)$。由于输出不相同，显然系统是时变的。

数字信号处理 - 稳定系统

稳定的系统满足 BIBO（有界输入有界输出）条件。这里，有界意味着幅度有限。对于稳定的系统，每个时刻的输出应该是有界的或有限的，对于有限的或有界的输入。

有界输入的一些示例是正弦、余弦、DC、符号和单位阶跃的函数。

例子

a) $y(t) = x(t)+10$

在这里，对于确定的有界输入，我们可以获得确定的有界输出，即如果我们输入 $x(t) = 2, y(t) = 12$，这本质上是有界的。因此，系统是稳定的。

b) $y(t) = \sin [x(t)]$

在给定的表达式中，我们知道正弦函数具有明确的值边界，该边界位于 -1 到 +1 之间。因此，无论我们在 x(t) 处替换什么值，我们都会得到边界内的值。因此，系统是稳定的。

数字信号处理 - 不稳定系统

不稳定系统不满足 BIBO 条件。因此，对于有界输入，我们不能期望在不稳定系统的情况下有有界输出。

例子

a) $y(t) = tx(t)$

在这里，对于有限的输入，我们不能期望有限的输出。例如，如果我们将 $x(t) = 2 \Rightarrow y(t) = 2t$。这不是一个有限值，因为我们不知道 t 的值。因此，它的范围可以是任何地方。因此，这个系统并不稳定。这是一个不稳定的系统。

b) $y(t) = \frac{x(t)}{\sin t}$

我们前面已经讨论过，正弦函数有一个确定的范围从-1到+1；但在这里，它出现在分母中。因此，在最坏的情况下，如果我们让 t = 0 并且正弦函数变为零，那么整个系统将趋于无穷大。因此，这种类型的系统根本不稳定。显然，这是一个不稳定的系统。

DSP - 系统属性解决示例

示例 1 - 检查 $y(t) = x*(t)$ 是线性还是非线性。

解决方案- 该函数表示输入的共轭。它可以通过第一同质性定律和可加性定律或通过这两个规则来验证。然而，通过规则进行验证要容易得多，所以我们就照着做。

如果系统的输入为零，则输出也趋于零。因此，我们的第一个条件就满足了。输入和输出处均未使用非线性运算符。因此，系统是线性的。

示例 2 - 检查 $y(t)=\begin{cases}x(t+1), & t > 0\\x(t-1), & t\leq 0\end{cases}$ 是否是线性的或非线性

解决方案- 显然，我们可以看到，当时间小于或等于零时，输​​入变为零。因此，我们可以说，输入为零时，输出也为零，并且满足我们的第一个条件。

同样，在输入和输出处都没有使用非线性运算符。因此，系统是线性的。

示例 3 - 检查 $y(t) = \sin tx(t)$ 是否稳定。

解决方案- 假设我们将 x(t) 的值设为 3。这里，正弦函数已与其相乘，并且正弦函数的最大值和最小值在 -1 到 +1 之间变化。

因此，整个函数的最大值和最小值也会在-3和+3之间变化。因此，系统是稳定的，因为在这里我们得到了有界输出的有界输入。

DSP - Z 变换简介

离散时间傅里叶变换（DTFT）适用于能量和功率信号。Z 变换对于既不能量也不功率 (NENP) 类型的信号也存在，但仅在一定程度上存在。替换 $z=e^{jw}$ 仅用于绝对可求和信号的 Z 变换到 DTFT 转换。

因此，幂级数中离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以写为 -

$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$

上式表示双边 Z 变换方程。

一般来说，当信号进行 Z 变换时，它可以表示为 -

$$X(Z) = Z[x(n)]$$

或$x(n) \longleftrightarrow X(Z)$

如果它是连续时间信号，则不需要 Z 变换，因为使用了拉普拉斯变换。然而，离散时间信号只能通过 Z 变换来分析。

收敛区域

收敛区域是复变量 Z 在 Z 平面上的范围。信号的 Z 变换是有限的或收敛的。因此，ROC 表示 Z 值的集合，其中 X(Z) 具有有限值。

ROC 的特性

• ROC 不包括任何杆。
• 对于右侧信号，ROC 将位于 Z 平面中的圆之外。
• 对于左侧信号，ROC 将位于 Z 平面的圆内。
• 为了稳定性，ROC 在 Z 平面中包含单位圆。
• 对于双边信号，ROC 是 Z 平面中的环。
• 对于有限持续时间信号，ROC 是整个 Z 平面。

Z 变换的独特特征是 -

• X(Z)的表达式
• X(Z) 的 ROC

信号及其 ROC

例子

让我们求一个信号的 Z 变换和 ROC，如 $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5\rbrace$，其中序列的原点位于 3。

解决方案- 应用我们的公式 -

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$

$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$

$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$

$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$

ROC 是整个 Z 平面，不包括 Z = 0、无穷大、-无穷大

DSP - Z 变换属性

在本章中，我们将了解 Z 变换的基本属性。

线性度

它指出，当两个或多个单独的离散信号乘以常数时，它们各自的 Z 变换也将乘以相同的常数。

从数学上来说，

$$a_1x_1(n)+a_2x_2(n) = a_1X_1(z)+a_2X_2(z)$$

证明- 我们知道，

$$X(Z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$

$= \sum_{n=-\infty}^\infty (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))Z^{-n}$

$= a_1\sum_{n = -\infty}^\infty x_1(n)Z^{-n}+a_2\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n)Z^{-n}$

$= a_1X_1(z)+a_2X_2(z)$ （由此证明）

这里，ROC 是 $ROC_1\bigcap ROC_2$。

时移

时移特性描述了离散信号在时域的变化如何影响Z域，可以写为：

$$x(n-n_0)\longleftrightarrow X(Z)Z^{-n}$$

或$x(n-1)\longleftrightarrow Z^{-1}X(Z)$

证明-

令$y(P) = X(PK)$

$Y(z) = \sum_{p = -\infty}^\infty y(p)Z^{-p}$

$= \sum_{p = -\infty}^\infty (x(pk))Z^{-p}$

令 s = pk

$= \sum_{s = -\infty}^\infty x(s)Z^{-(s+k)}$

$= \sum_{s = -\infty}^\infty x(s)Z^{-s}Z^{-k}$

$= Z^{-k}[\sum_{s=-\infty}^\infty x(m)Z^{-s}]$

$= Z^{-k}X(Z)$ （由此证明）

这里，ROC 可以写为 Z = 0 (p>0) 或 Z = ∞(p<0)

例子

U(n) 和 U(n-1) 可以绘制如下