DSP - DFT 离散余弦变换

DCT（离散余弦变换）是一个 N 输入序列 x(n) , 0≤n≤N-1 ，作为线性变换或复指数的组合。因此，即使 x(n) 是实数，DFT 系数通常也是复数。

假设，我们试图找到一个具有 N×N 结构的正交变换，将实数序列 x(n) 表示为余弦序列的线性组合。我们已经知道 -

$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)cos\frac{2\Pi kn}{N}0\leq k \leq N-1$

$x(n) = \frac{1}{N}\sum_ { k = 0}^{N-1}x(k)cos\frac{2\Pi kn}{N}0\leq k \leq N-1$

如果 N 点序列 x(n) 是实数且偶数，则这是可能的。因此，$x(n) = x(Nn),0\leq n \leq (N-1)$。由此产生的 DFT 本身是真实且均匀的。这些事情清楚地表明，我们可以通过对序列的“偶扩展”进行 2N 点 DFT，为任何 N 点实数序列设计离散余弦变换。

DCT 基本上用于图像和语音处理。它还用于图像和语音信号的压缩。

$DFT[s(n)] = S(k) = \sum_{n = 0}^{2N-1}s(n)W_{2N}^{nk},\quad 其中\quad 0\leq k \ leq 2N-1$

$S(k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{nk}+\displaystyle\sum\limits_{n = N}^{2N -1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nk};\quad 其中\quad 0\leq k\leq 2N-1$

$\Rightarrow S(k) = W_{2N}^{-k/2}+\sum_{n = 0}^{N-1}x(n) [W_{2N}^{nk}W_{2N} ^{k/2}+W_{2N}^{-nk}W_{2N}^{-k/2}];\quad 其中\quad 0\leq k\leq 2N-1$

$\Rightarrow S(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)\cos [\frac{\pi}{ N}(n+\frac{1}{2})k];\quad 其中\quad 0\leq k\leq 2N-1$

DCT 的定义为，

$V(k) = 2\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)\cos [\frac{\pi}{2}(n+\frac{1}{2})k]\四边形 其中\quad 0\leq k\leq N-1$

$\Rightarrow V(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}S(k)\quad 或\quad S(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2 }}V(k),\quad 其中\quad 0\leq k\leq N-1$

$\Rightarrow V(k) = 2R[W_{2N}^{\frac{k}{2}}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{nk} ],\quad 其中\quad 0\leq k\leq N-1$