DSP - Z 变换存在性

一个具有系统函数的系统，只有所有的极点都位于单位圆内，才能保持稳定。首先，我们检查系统是否是因果的。如果系统是因果系统，则进行BIBO稳定性判断；其中 BIBO 稳定性是指有界输入条件下的有界输出。

这可以写成；

$Mod(X(Z))< \infty$

$= Mod(\sum x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod(x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod[x(n)(re^{jw})^{-n}]< 0$

$= \sum Mod[x(n)r^{-n}]Mod[e^{-jwn}]< \infty$

$= \sum_{n = -\infty}^\infty Mod[x(n)r^{-n}]< \infty$

上式显示了Z变换存在的条件。

然而，DTFT信号存在的条件是

$$\sum_{n = -\infty}^\infty Mod(x(n)< \infty$$

实施例1

让我们尝试找出信号的 Z 变换，其给出为

$x(n) = -(-0.5)^{-n}u(-n)+3^nu(n)$

$= -(-2)^nu(n)+3^nu(n)$

解决方案- 这里，对于 $-(-2)^nu(n)$，ROC 是左侧且 Z<2

对于 $3^nu(n)$ ROC 位于右侧且 Z>3

因此，这里信号的 Z 变换将不存在，因为没有公共区域。

让我们尝试找出由下式给出的信号的 Z 变换

$x(n) = -2^nu(-n-1)+(0.5)^nu(n)$

解决方案- 这里，对于 $-2^nu(-n-1)$ 信号的 ROC 是左侧且 Z<2

对于信号 $(0.5)^nu(n)$ ROC 位于右侧且 Z>0.5

因此，共同的 ROC 形成为 0.5<Z<2

因此，Z变换可以写为：

$X(Z) = \lbrace\frac{1}{1-2Z^{-1}}\rbrace+\lbrace\frac{1}{(1-0.5Z)^{-1}}\rbrace$

让我们尝试找出信号的 Z 变换，其给出为 $x(n) = 2^{r(n)}$

解- r(n) 是斜坡信号。所以信号可以写为：

$x(n) = 2^{nu(n)}\lbrace 1, n<0 (u(n)=0)\quad 和\quad2^n, n\geq 0(u(n) = 1)\ rbrace$

$= u(-n-1)+2^nu(n)$

此处，对于信号 $u(-n-1)$ 和 ROC Z<1，对于 $2^nu(n)$，ROC 为 Z>2。

因此，信号的 Z 变换将不存在。

因果系统可以定义为 $h(n) = 0,n<0$。对于因果系统，ROC 将位于 Z 平面的圆之外。

$H(Z) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty}h(n)Z^{-n}$

展开上面的方程，

$H(Z) = h(0)+h(1)Z^{-1}+h(2)Z^{-2}+...\四元...\四元...$

$= N(Z)/D(Z)$

对于因果系统，传递函数的展开不包括Z的正幂。对于因果系统，分子的阶数不能超过分母的阶数。这可以写成——

$\lim_{z \rightarrow \infty}H(Z) = h(0) = 0\quad 或\quad 有限$

为了因果系统的稳定性，传递函数的极点应位于 Z 平面的单位圆内。

反因果系统可以定义为 $h(n) = 0, n\geq 0$ 。对于反因果系统，传递函数的极点应位于 Z 平面单位圆之外。对于反因果系统，ROC 将位于 Z 平面的圆内。