DSP - 信号卷积运算
两个信号在时域中的卷积相当于它们在频域中表示的乘法。在数学上，我们可以将两个信号的卷积写为
$$y(t) = x_{1}(t)*x_{2}(t)$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(p).x_{2 }(tp)dp$$卷积步骤
- 取信号 x 1 (t) 并将 t = p 放在那里，使其成为 x 1 (p)。
- 取信号 x 2 (t) 并执行步骤 1，使其变为 x 2 (p)。
- 对信号进行折叠，即 x 2 (-p)。
- 对上述信号进行时移 x 2 [-(pt)]
- 然后将两个信号相乘。即 $x_{1}(p).x_{2}[−(p−t)]$
例子
让我们对阶跃信号 u(t) 与其自身类型进行卷积。
$y(t) = u(t)*u(t)$
$= \int_{-\infty}^{\infty}[u(p).u[-(pt)]dp$
现在这个t可以大于或小于零，如下图所示
因此，对于上述情况，结果出现以下可能性
$y(t) = \begin{cases}0, & if\quad t<0\\\int_{0}^{t}1dt, & for\quad t>0\end{cases}$
$= \begin{cases}0, & if\quad t<0\\t, & t>0\end{cases} = r(t)$
卷积的性质
交换律
它指出卷积的顺序并不重要，这可以在数学上表示为
$$x_{1}(t)*x_{2}(t) = x_{2}(t)*x_{1}(t)$$联想式
它指出涉及三个信号的卷积顺序可以是任何顺序。在数学上，它可以表示为；
$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)*x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)]*x_{3} （吨）$$分配性
可以先将两个信号相加，然后对第三个信号进行卷积。这相当于两个信号分别与第三个信号进行卷积，最后相加。从数学上来说，这可以写成：
$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)+x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)+x_{1}( t)*x_{3}(t)]$$区域
如果一个信号是两个信号卷积的结果，那么该信号的面积就是这些单独信号的乘积。从数学上讲，这可以写成
如果$y(t) = x_{1}*x_{2}(t)$
那么，y(t) 的面积 = x 1 (t) 的面积 X x 2 (t)的面积
缩放
如果两个信号被缩放到某个未知常数“a”并完成卷积，则所得信号也将被卷积到相同的常数“a”，并除以该量，如下所示。
如果$x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$
那么$x_{1}(at)*x_{2}(at) = \frac{y(at)}{a}, a \ne 0$
延迟
假设信号 y(t) 是两个信号 x1(t) 和 x2(t) 卷积的结果。如果两个信号分别延迟时间t1和t2，则所得信号y(t)将延迟(t1+t2)。从数学上来说，它可以写成 -
如果$x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$
然后，$x_{1}(t-t_{1})*x_{2}(t-t_{2}) = y[t-(t_{1}+t_{2})]$
已解决的例子
示例 1 - 求信号 u(t-1) 和 u(t-2) 的卷积。
解决方案- 给定信号为 u(t-1) 和 u(t-2)。它们的卷积可以如下所示完成 -
$y(t) = u(t-1)*u(t-2)$
$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}[u(t-1).u(t-2)]dt$
$= r(t-1)+r(t-2)$
$= r(t-3)$
示例 2 - 求两个信号的卷积：
$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $
$x_{2}(n) = \begin{cases}2, & 0\leq n\leq 4\\0, & x > 别处\end{cases}$
解决方案-
x 2 (n) 可以解码为 $x_{2}(n) = \lbrace 2,2,2,2,2\rbrace Originalfirst$
x 1 (n) 先前已给出 $= \lbrace 3,-2,3\rbrace = 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}$
类似地，$x_{2}(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}$
结果信号，
$X(Z) = X_{1}(Z)X_{2}(z)$
$= \lbrace 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}\rbrace \times \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^ {-4}\r大括号$
$= 6+2Z^{-1}+6Z^{-2}+6Z^{-3}+6Z^{-4}+6Z^{-5}$
对上述进行 Z 逆变换，我们将得到结果信号：
$x(n) = \lbrace 6,2,6,6,6,0,4\rbrace$ 第一个原点
示例 3 - 确定以下 2 个信号的卷积 -
$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$
$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$
解决方案-
对信号进行 Z 变换，我们得到，
$x(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}$
$h(n) = 1+2Z^{-1 } +3Z^{-2}+Z^{-3}$
现在，两个信号的卷积意味着它们的 Z 变换的乘法
即$Y(Z) = X(Z) \times h(Z)$
$= \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}\rbrace \times \lbrace 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}\rbrace$
$= \lbrace 2+5Z^{-1}+8Z^{-2}+6Z^{-3}+3Z^{-4}+3Z^{-5}+Z^{-6}\rbrace$
采用 Z 逆变换，所得信号可以写为：
$y(n) = \lbrace 2,5,8,6,6,1 \rbrace Originalfirst$