DSP - DFT 求解示例

实施例1

验证序列 $x(n) = \frac{1^n}{4}u(n)$ 的帕塞瓦尔定理

解− $\displaystyle\sum\limits_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1 (e^{j\omega})|^2d\omega$

LHS $\displaystyle\sum\limits_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2$

$= \displaystyle\sum\limits_{-\infty}^{\infty}x(n)x^*(n)$

$= \displaystyle\sum\limits_{-\infty}^\infty(\frac{1}{4})^{2n}u(n) = \frac{1}{1-\frac{1}{16 }} = \frac{16}{15}$

RHS $X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-\frac{1}{4}ej\omega} = \frac{1}{1-0.25\cos \omega+j0。 25\sin\omega}$

$\Longleftrightarrow X^*(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.25\cos \omega-j0.25\sin \omega}$

计算$X(e^{j\omega}).X^*(e^{j\omega})$

$= \frac{1}{(1-0.25\cos \omega)^2+(0.25\sin \omega)^2} = \frac{1}{1.0625-0.5\cos \omega}$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{1.0625-0.5\cos \omega}d\omega$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{1.0625-0.5\cos \omega}d\omega = 16/15$

我们可以看到，LHS = RHS。（由此证明）

计算 $x(n) = 3\delta (n)$ 的 N 点 DFT

解决方案- 我们知道，

$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$

$= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}3\delta(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$

$ = 3\delta (0)\times e^0 = 1$

所以，$x(k) = 3,0\leq k\leq N-1$ … Ans。

计算 $x(n) = 7(n-n_0)$ 的 N 点 DFT

解决方案- 我们知道，

$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$

代入 x(n) 的值，

$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}7\delta (n-n_0)e^{-\frac{j2\Pi kn}{N}}$

$= e^{-kj14\Pi kn_0/N}$ … Ans