DSP - Z 变换简介
离散时间傅里叶变换（DTFT）适用于能量和功率信号。Z 变换对于既不能量也不功率 (NENP) 类型的信号也存在，但仅在一定程度上存在。替换 $z=e^{jw}$ 仅用于绝对可求和信号的 Z 变换到 DTFT 转换。
因此，幂级数中离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以写为 -
$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$上式表示双边 Z 变换方程。
一般来说，当信号进行 Z 变换时，它可以表示为 -
$$X(Z) = Z[x(n)]$$或$x(n) \longleftrightarrow X(Z)$
如果它是连续时间信号，则不需要 Z 变换，因为使用了拉普拉斯变换。然而，离散时间信号只能通过 Z 变换来分析。
收敛区域
收敛区域是复变量 Z 在 Z 平面上的范围。信号的 Z 变换是有限的或收敛的。因此，ROC 表示 Z 值的集合，其中 X(Z) 具有有限值。
ROC 的特性
- ROC 不包括任何杆。
- 对于右侧信号，ROC 将位于 Z 平面中的圆之外。
- 对于左侧信号，ROC 将位于 Z 平面的圆内。
- 为了稳定性，ROC 在 Z 平面中包含单位圆。
- 对于双边信号，ROC 是 Z 平面中的环。
- 对于有限持续时间信号，ROC 是整个 Z 平面。
Z 变换的独特特征是 -
- X(Z)的表达式
- X(Z) 的 ROC
信号及其 ROC
| x(n) | X(Z) | 鹏 |
|---|---|---|
| $\delta(n)$ | $1$ | 整个Z平面 |
| $U(n)$ | $1/(1-Z^{-1})$ | 模(Z)>1 |
| $a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | 模(Z)>模(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | 模(Z)<模(a) |
| $na^nu(n)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | 模(Z)>模(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | 模(Z)<模(a) |
| $U(n)\cos\omega n$ | $(Z^2-Z\cos\omega)/(Z^2-2Z\cos\omega+1)$ | 模(Z)>1 |
| $U(n)\sin\omega n$ | $(Z\sin\omega)/(Z^2-2Z\cos\omega+1)$ | 模(Z)>1 |
例子
让我们求一个信号的 Z 变换和 ROC，如 $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5\rbrace$，其中序列的原点位于 3。
解决方案- 应用我们的公式 -
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$
$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$
$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$
$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$
ROC 是整个 Z 平面，不包括 Z = 0、无穷大、-无穷大