DSP - Z 逆变换

如果我们想分析一个已经在频域中表示为离散时间信号的系统，那么我们可以进行逆 Z 变换。

在数学上，它可以表示为；

$$x(n) = Z^{-1}X(Z)$$

其中 x(n) 是时域信号，X(Z) 是频域信号。

如果我们想以积分格式表示上面的方程，那么我们可以将其写为

$$x(n) = (\frac{1}{2\Pi j})\oint X(Z)Z^{-1}dz$$

这里，积分是在闭合路径 C 上进行的。该路径位于 x(z) 的 ROC 内，并且包含原点。

求 Z 逆变换的方法

当需要以离散格式进行分析时，我们通过逆Z变换将频域信号转换回离散格式。我们按照以下四种方法来确定 Z 逆变换。

在该方法中，信号x(z)的Z变换可以表示为多项式的比率，如下所示；

$$x(z)=N(Z)/D(Z)$$

现在，如果我们继续将分子除以分母，那么我们将得到如下所示的级数

$$X(z) = x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+...\四元...\四元...$$

上述序列表示给定信号（n≥0）的一系列逆 Z 变换，并且上述系统是因果系统。

然而，对于 n<0，级数可以写为：

$$x(z) = x(-1)Z^1+x(-2)Z^2+x(-3)Z^3+...\四元...\四元...$$

这里信号也首先以N(z)/D(z)形式表示。

如果是有理分数，则表示如下；

$x(z) = b_0+b_1Z^{-1}+b_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+b_mZ^{-m})/(a_0+a_1Z^{ -1}+a_2Z^{-2}+...\四...\四...+a_nZ^{-N})$

当 m<n 且 an≠0 时，上式不正确

如果比例不合适（即Improper），那么我们就必须将其转换为合适的形式来解决。

在此方法中，我们通过对所有极点 $[x(z)Z^{n-1}]$ 的残差求和来获得 Z 逆变换 x(n)。从数学上来说，这可以表示为

$$x(n) = \displaystyle\sum\limits_{所有\四极点\quad X(z)}残差\quad of[x(z)Z^{n-1}]$$

这里，任意 m 阶极点在 $z = \beta$ 处的留数为

$$残差 = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{Z \rightarrow \beta}\lbrace \frac{d^{m-1}}{dZ^{m-1}}\lbrace (z-\beta)^mX(z)Z^{n-1}\rbrace$$