统计 - Beta 分布

beta 分布表示由两个正形状参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 参数化的连续概率分布，它们显示为随机变量 x 的指数并控制分布的形状。

概率密度函数

Beta 分布的概率密度函数如下：

公式

${ f(x) = \frac{(xa)^{\alpha-1}(bx)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta) (ba)^{\alpha+\beta- 1}} \hspace{.3in} a \le x \le b; \alpha, \beta > 0 \\[7pt] \，其中 \ B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1} {t^{\alpha-1}(1-t)^{ \beta-1}dt} }$

其中 -

${ \alpha, \beta }$ = 形状参数。
${a, b}$ = 上限和下限。
${B(\alpha,\beta)}$ = Beta 函数。

标准贝塔分布

当上限和下限分别为 1 和 0 时，β 分布称为标准 β 分布。它由以下公式驱动：

公式

${ f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \hspace{.3in} \le x \le 1; α, β > 0}$

累积分布函数

Beta 分布的累积分布函数为：

公式

${ F(x) = I_{x}(\alpha,\beta) = \frac{\int_{0}^{x}{t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta- 1}dt}}{B(\alpha,\beta)} \hspace{.2in} 0 \le x \le 1; p, β > 0 }$

其中 -

${ \alpha, \beta }$ = 形状参数。
${a, b}$ = 上限和下限。
${B(\alpha,\beta)}$ = Beta 函数。

也称为不完全贝塔函数比。