统计-二次回归方程

二次回归用于找出最适合给定数据集的抛物线方程。它的形式如下：

${ y = ax^2 + bx + c \ 其中 \ a \ne 0}$

最小二乘法可用于求二次回归方程。在该方法中，我们找出 a、b 和 c 的值，从而得出每个给定点 (${x_i, y_i}$) 与抛物线方程 (${ y = ax^2 + bx + c} $) 是最小的。抛物线的矩阵方程由下式给出：

$ {\begin{bmatrix} \sum {x_i}^4 & \sum {x_i}^3 & \sum {x_i}^2 \\ \sum {x_i}^3 & \sum {x_i}^2 & \sum x_i \\ \sum {x_i}^2 & \sum x_i & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum {x_i}^ 2{y_i} \\ \sum x_iy_i \\ \sum y_i \end{bmatrix} }$

相关系数，r

相关系数 r 决定二次方程对给定数据的拟合程度。如果 r 接近 1，则拟合良好。r可以通过以下公式计算。

${ r = 1 - \frac{SSE}{SST} \ 其中 \\[7pt] \ SSE = \sum (y_i - a{x_i}^2 - bx_i - c)^2 \\[7pt] \ SST = \sum (y_i - \bar y)^2 }$

通常，二次回归计算器用于计算二次回归方程。

例子

问题陈述：

计算以下数据的二次回归方程。检查其最佳适应性。

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	7.5	3	0.5	1	3	6	14

解决方案：

通过输入 x 和 y 值在计算器上计算二次回归。上述点的最佳拟合二次方程为

${ y = 1.1071x^2 + x + 0.5714 }$

要检查最佳适应度，请绘制图表。

因此，数据的相关系数 r 的值为 0.99420，接近 1。因此二次回归方程最适合。