统计 - 逻辑回归

逻辑回归是一种用于分析数据集的统计方法，其中有一个或多个决定结果的自变量。结果是用二分变量来衡量的（其中只有两种可能的结果）。

公式

${\pi(x) = \frac{e^{\alpha + \beta x}}{1 + e^{\alpha + \beta x}}}$

其中 -

响应 - 存在/不存在特征。
预测器 - 针对每种情况观察到的数值变量
${\beta = 0 \Rightarrow }$ P（存在）在 x 的每个级别上都是相同的。
${\beta \gt 0 \Rightarrow }$ P（存在）随着 x 的增加而增加
${\beta = 0 \Rightarrow }$ P（存在）随着 x 的增加而减少。

例子

问题陈述：

解决以下问题的逻辑回归 Rizatriptan for Migraine

反应 - 2 小时后完全缓解疼痛（是/否）。

预测因子 - 剂量 (mg)：安慰剂 (0)、2.5、5、10

剂量	＃患者	#松了口气	%松了口气
0	67	2	3.0
2.5	75	7	9.3
5	130	29	22.3
10	145	40	27.6

解决方案：

有了 ${\alpha = -2.490} 和 ${\beta = .165}，我们有以下数据：

$ {\pi(0) = \frac{e^{\alpha + \beta \times 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \times 0}} \\[7pt] \, = \frac {e^{-2.490 + 0}}{1 + e^{-2.490}} \\[7pt] \\[7pt] \, = 0.03 \\[7pt] \pi(2.5) = \frac{e^ {\alpha + \beta \times 2.5}}{1 + e^{\alpha + \beta \times 2.5}} \\[7pt] \, = \frac{e^{-2.490 + .165 \times 2.5} }{1 + e^{-2.490 + .165 \times 2.5}} \\[7pt] \, = 0.09 \\[7pt] \\[7pt] \pi(5) = \frac{e^{\alpha + \beta \times 5}}{1 + e^{\alpha + \beta \times 5}} \\[7pt] \, = \frac{e^{-2.490 + .165 \times 5}}{1 + e^{-2.490 + .165 \times 5}} \\[7pt] \, = 0.23 \\[7pt] \\[7pt] \pi(10) = \frac{e^{\alpha + \beta \times 10}}{1 + e^{\alpha + \beta \times 10}} \\[7pt] \, = \frac{e^{-2.490 + .165 \times 10}}{1 + e^ {-2.490 + .165 \times 10}} \\[7pt] \, = 0.29 }$

剂量(${x}$)	${\pi(x)}$
0	0.03
2.5	0.09
5	0.23
10	0.29