统计 - 伽玛分布

伽玛分布表示二参数族的连续概率分布。伽马分布通常由三种参数组合设计。

  • 形状参数$k$和尺度参数$θ$。

  • 形状参数 $ \alpha = k $ 和反比例参数 $ \beta = \frac{1}{ \theta} $，称为速率参数。

  • 形状参数 $ k $ 和平均参数 $ \mu = \frac{k}{\beta} $。

伽玛分布

每个参数都是正实数。伽马分布是由以下标准驱动的最大熵概率分布。

公式

${E[X] = k \theta = \frac{\alpha}{\beta} \gt 0 \ 并且 \ 是固定的。\\[7pt] E[ln(X)] = \psi (k) + ln( \theta) = \psi( \alpha) - ln( \beta) \ 并且 \ 是固定的。}$

其中 -

  • ${X}$ = 随机变量。

  • ${\psi}$ = 二伽玛函数。

使用形状 $ \alpha $ 和速率 $ \beta $ 进行表征

概率密度函数

伽马分布的概率密度函数如下：

公式

${ f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha - 1 } e^{-x \beta}}{\Gamma(\alpha)} \ 其中 \ x \ge 0 \ 和 \ \alpha, \beta \gt 0 }$

其中 -

  • ${\alpha}$ = 位置参数。

  • ${\beta}$ = 尺度参数。

  • ${x}$ = 随机变量。

累积分布函数

伽玛分布的累积分布函数为：

公式

${ F(x; \alpha, \beta) = \int_0^xf(u; \alpha, \beta) du = \frac{\gamma(\alpha, \beta x)}{\Gamma(\alpha)} }$

其中 -

  • ${\alpha}$ = 位置参数。

  • ${\beta}$ = 尺度参数。

  • ${x}$ = 随机变量。

  • ${\gamma(\alpha, \beta x)} $ = 较低的不完全伽玛函数。

使用形状 $ k $ 和尺度 $ \theta $ 进行表征

概率密度函数

伽马分布的概率密度函数如下：

公式

${ f(x; k, \theta) = \frac{x^{k - 1 } e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)} \ 其中\ x \gt 0 \ 和 \ k, \theta \gt 0 }$

其中 -

  • ${k}$ = 形状参数。

  • ${\theta}$ = 尺度参数。

  • ${x}$ = 随机变量。

  • ${\Gamma(k)}$ = 在 k 处计算的伽玛函数。

累积分布函数

伽玛分布的累积分布函数为：

公式

${ F(x; k, θ) = \int_0^xf(u; k, θ) du = \frac{\gamma(k, \frac{x}{\theta})}{\Gamma(k )}}$

其中 -

  • ${k}$ = 形状参数。

  • ${\theta}$ = 尺度参数。

  • ${x}$ = 随机变量。

  • ${\gamma(k, \frac{x}{\theta})} $ = 较低的不完全伽玛函数。